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le plus grand rayon osculateur répond à $\lambda ={\rm {E}}$ ; la ligne géodésique correspondante forme donc l’angle ${\rm {E}}$ avec le plan du méridien. Le plus petit rayon osculateur répond à $\lambda =100^{\circ }+{\rm {E}}$ ; soit $r$ ce plus petit rayon, et $r'$ le plus grand ; on aura

{\rm {R}}=r+(r'-r)\cos ^{2}(\lambda -{\rm {E),}}

$\lambda -{\rm {E}}$ étant l’angle que la ligne géodésique correspondante à ${\rm {R}}$ forme avec celle qui correspond à $r'.$

Nous avons déjà observé qu’à chaque point de la surface de la Terre on peut concevoir un ellipsoïde osculateur sur lequel les degrés dans tous les sens sont sensiblement les mêmes dans une petite étendue autour du point d’osculation. Exprimons le rayon de cet ellipsoïde par la fonction^[1]

1-\alpha \sin ^{2}\psi \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right],

les longitudes $\varphi$ étant comptées d’un méridien donné. L’expression de l’arc terrestre mesuré dans le sens du méridien sera, par ce qui précède,

\varepsilon -{\frac {\alpha \varepsilon }{2}}\left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right](1+3\cos 2\psi -3\varepsilon \sin 2\psi ).

↑ Il y a dans cet alinéa des inexactitudes qui ont été signalées par Bowditch dans son édition de la Mécanique céleste ; mais les corrections proposées par le consciencieux commentateur me paraissent s’écarter du texte de Laplace plus qu’il n’est nécessaire. Il me semble préférable de corriger de la manière suivante les formules du texte :
1^o Rayon de l’ellipsoïde,

$1+\alpha \cos ^{2}\psi \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right]\,;$

2^o Longueur de l’arc terrestre mesuré dans le sens du méridien,

$\varepsilon +{\frac {\alpha \varepsilon }{2}}\left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right](1-3\cos 2\psi +3\varepsilon \sin 2\psi )\,;$

3^o Valeur de l’angle $\varpi ,$

$\varpi =-2\alpha \varepsilon h\sin \psi \operatorname {tang} \psi \sin 2(\varphi +{\text{ϐ}})\,;$

4^o Valeur du degré mesuré dans le sens perpendiculaire au méridien,

$1^{\circ }+1^{\circ }.\alpha \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right]\left(1+\sin ^{2}\psi \right)-4^{\circ }.\alpha h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}}).$

Ces formules peuvent se déduire de celles de l’édition américaine, en prenant pour unité ce que Bowditch appelle $1-\alpha$ .

[1] Il y a dans cet alinéa des inexactitudes qui ont été signalées par Bowditch dans son édition de la Mécanique céleste ; mais les corrections proposées par le consciencieux commentateur me paraissent s’écarter du texte de Laplace plus qu’il n’est nécessaire. Il me semble préférable de corriger de la manière suivante les formules du texte :
1^o Rayon de l’ellipsoïde,

$1+\alpha \cos ^{2}\psi \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right]\,;$

2^o Longueur de l’arc terrestre mesuré dans le sens du méridien,

$\varepsilon +{\frac {\alpha \varepsilon }{2}}\left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right](1-3\cos 2\psi +3\varepsilon \sin 2\psi )\,;$

3^o Valeur de l’angle $\varpi ,$

$\varpi =-2\alpha \varepsilon h\sin \psi \operatorname {tang} \psi \sin 2(\varphi +{\text{ϐ}})\,;$

4^o Valeur du degré mesuré dans le sens perpendiculaire au méridien,

$1^{\circ }+1^{\circ }.\alpha \left[1+h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}})\right]\left(1+\sin ^{2}\psi \right)-4^{\circ }.\alpha h\cos 2(\varphi +{\text{ϐ}}).$

Ces formules peuvent se déduire de celles de l’édition américaine, en prenant pour unité ce que Bowditch appelle $1-\alpha$ .

[1]