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suivantes

${\begin{aligned}0&=2{\frac {\partial ^{2}{\rm {V'}}}{\partial s\partial s'}},\\\\0&=2{\frac {\partial ^{2}{\rm {V''}}}{\partial s\partial s'}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial s'}}\right),\\\\0&=2{\frac {\partial ^{2}{\rm {V'''}}}{\partial s\partial s'}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\rm {V''}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\rm {V''}}}{\partial s'}}\right)-{\frac {s+s'}{4}}\left({\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial s'}}\right),\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ces équations donneront, en les intégrant, les valeurs de ${\rm {V',V'',\ldots \,;}}$ pour en déterminer les fonctions arbitraires, nous supposerons, pour plus de simplicité, que la figure génératrice de l’anneau est égale et semblable de chaque côté de l’axe des $u$, ce qui réduit à une seule les fonctions arbitraires de chacune des valeurs de ${\rm {V',V'',\ldots .}}$ Pour les obtenir, il suffira de connaître ces valeurs, lorsque le point attiré est placé sur le prolongement de l’axe des $u$. Considérons une ligne circulaire parallèle au plan qui, passant par l’axe des $u$, est perpendiculaire à la figure génératrice ; supposons que le centre de cette circonférence soit sur la droite qui passe par le centre de Saturne, perpendiculairement à ce plan. Nommons $y$ la hauteur de ce centre au-dessus de ce plan, $a+x$ le rayon de cette circonférence, et $\varpi$ l’angle que ce rayon forme avec le plan de la figure génératrice qui passe par le point attiré ; soit $a+u$ la distance de ce point au centre de Saturne. Cela posé, la somme des molécules de la circonférence, divisées par leurs distances au point attiré, sera

$\int {\frac {(a+x)d\varpi }{\sqrt {(a+u)^{2}-2(a+u)(a+x)\cos \varpi +(a+x)^{2}+y^{2}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal à la circonférence. Il faut ensuite multiplier cette intégrale par $dy$, et l’intégrer depuis $y=-\varphi (x)$ jusqu’à $y=\varphi (x),\ y^{2}=\left[\varphi (x)\right]^{2}$ étant l’équation de la figure génératrice de l’anneau ; il faut enfin, pour avoir la valeur de ${\rm {V}}$, multiplier cette nouvelle intégrale par $dx$, et l’intégrer depuis $x=-k$ jusqu’à $x=k',\ -k$ et $k'$ étant les limites des valeurs de $x.$ Ces diverses intégrations sont inexécutables rigoureusement ; on peut obtenir leurs