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côté de l’origine des $u$ et des $z,$ et l’on voit que ce cas est à fort peu près celui de l’anneau, quand le point attiré est voi\sin de sa surface.

Cette équation donne, en l’intégrant,

${\rm {V}}=\varphi \left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(u-z{\sqrt {-1}}\right),$

$\varphi (u)$ et $\psi (u)$ étant des fonctions arbitraires de $u.$ On peut mettre cette expression de $u$ sous la forme suivante

${\rm {V}}=f\left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}\operatorname {F} \left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+f\left(u-z{\sqrt {-1}}\right)$

$-{\sqrt {-1}}\operatorname {F} \left(u-z{\sqrt {-1}}\right),$

$f(u)$ et $\operatorname {F} (u)$ étant des fonctions réelles de $u.$ Si la figure génératrice du cylindre est formée de deux parties égales et semblables de chaque côté de l’axe des $u$, alors l’expression de ${\rm {V}}$ reste la même, en y changeant le signe de $z$ ainsi l’on a, dans ce cas,

${\rm {V}}=f\left(u+z{\sqrt {-1}}\right)+f\left(u-z{\sqrt {-1}}\right).$

Pour déterminer la fonction $f(u),$ il suffit de connaître la valeur de ${\rm {V}}$, lorsque $z=0$ ou lorsque le point attiré est sur le prolongement de l’axe des $u$, et l’on verra bientôt que la détermination de cette fonction se réduit aux quadratures des courbes.

La valeur de ${\rm {V}}$ relative aux cylindres ne doit être considérée que comme une approximation par rapport aux anneaux ; mais, en la substituant dans l’équation (1), il est facile d’en conclure des valeurs de {\rm V} successivement plus approchées. Si l’on fait dans cette équation

$u+z{\sqrt {-1}}=s,\qquad u-z{\sqrt {-1}}=s',$

elle deviendra

$0=2{\frac {\partial ^{2}{\rm {V}}}{\partial s\partial s'}}+{\frac {1}{2a+s+s'}}\left({\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial s}}+{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial s'}}\right)$

Soit

${\rm {V}}={\rm {V'}}+{\frac {1}{a}}{\rm {V''}}+{\frac {1}{a^{2}}}{\rm {V'''}}+\ldots \,;$

on aura, en comparant les puissances semblables de ${\frac {1}{a}},$ les équations