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car le peu de densité de l’atmosphère permet de négliger l’attraction de ses molécules. Déterminons cette figure, et, pour cela, nommons ${\rm {V}}$ la somme des molécules du sphéroïde que l’atmosphère recouvre, divisées par leurs distances respectives à une molécule quelconque $d{\rm {M}}$ de cette atmosphère. Soit $r$ la distance de cette molécule au centre de gravité du sphéroïde, $\theta$ l’angle que $r$ forme avec l’axe de rotation du sphéroïde, et $\varpi$ l’angle que le plan mené par cet axe et par le rayon $r$ fait avec un méridien fixe sur la surface du sphéroïde. Soit encore $n$ la vitesse angulaire de rotation du sphéroïde ; la force centrifuge de la molécule $d{\rm {M}}$ sera $n^{2}r\sin \theta .$ L’élément de sa direction sera $d(r\sin \theta )$ ; ainsi l’intégrale de cette force multipliée par l’élément de sa direction sera ${\frac {1}{2}}n^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta \,;$ en nommant donc $\rho$ la densité de la molécule $d{\rm {M,}}$ et $\Pi$ la pression qu’elle éprouve, on aura, par le n^o 22,

(1)

$\int {\frac {d\Pi }{\rho }}={\rm {const}}.+{\rm {V}}+{\frac {1}{2}}n^{2}r^{2}\sin ^{2}\theta ,$

$\Pi$ étant une fonction de $\rho$.

Si le sphéroïde est peu différent d’une sphère, l’expression de ${\rm {V}}$ est, par les n^o 11 et 31, de cette forme

${\frac {m}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r^{3}}}+{\frac {{\rm {U}}^{(3)}}{r^{4}}}+\ldots ,$

$m$ étant la masse du sphéroïde, et ${\rm {U}}^{(i)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ qui satisfait à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)},$

$\mu$ étant égal à $\cos \theta .$ Si l’on substitue pour ${\rm {V}}$ cette valeur dans l’équation (1), on aura l’équation de toutes les couches de même densité de l’atmosphère.

À la surface extérieure, $\Pi =0$ et, si l’on néglige l’excentricité du sphéroïde, et que l’on désigne par $\alpha$ le rapport de la force centrifuge