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à la pesanteur à l’équateur et sur la surface du sphéroïde, dont nous prendrons le rayon pour unité, l’équation (1) devient

$c={\frac {2}{r}}+\alpha r^{2}\sin ^{2}\theta .$

En nommant ${\rm {R}}$ le rayon du pôle de l’atmosphère, on a $c={\frac {2}{\rm {R}}}$ ; partant,

${\frac {2}{\rm {R}}}={\frac {2}{r}}+\alpha r^{2}\sin ^{2}\theta .$

Pour avoir le rapport des deux axes de l’atmosphère, nommons ${\rm {R'}}$ le rayon de son équateur ; l’équation précédente donnera

$\alpha {\rm {R'^{3}=2{\frac {R'-R}{R}}.}}$

La plus grande valeur dont ${\rm {R'}}$ soit susceptible est celle qui s’étend jusqu’au point où la force centrifuge devient égale à la pesanteur ; on a dans ce cas ${\rm {{\frac {1}{R'^{2}}}=\alpha R',}}$ ou $\alpha {\rm {R'^{3}=1,}}$ et par conséquent ${\rm {{\frac {R'}{R}}={\frac {3}{2}}.}}$ Ce rapport de ${\rm {R'}}$ à ${\rm {R}}$ est le plus grand qu’il est possible ; car en faisant $\alpha {\rm {R}}'^{3}=1-z,\ z$ étant nécessairement positif ou zéro, on aura ${\frac {{\rm {R}}'}{\rm {R}}}={\frac {3-z}{2}}.$

Le rayon le plus grand de l’atmosphère est celui de l’équateur ; en effet, l’équation de sa surface donne, en la différenciant,

$dr={\frac {\alpha r^{4}d\theta \sin \theta \cos \theta }{1-\alpha r^{3}\sin ^{2}\theta }}.$

Le dénominateur de cette fraction est constamment positif ; car la force centrifuge, décomposée suivant le rayon $r,$ est égale à $\alpha mrsi^{2}a\theta ,$ et elle doit être moindre que la pesanteur, qui est égale à ${\frac {m}{r^{2}}}\,;\ r$ croît donc avec $\theta$ du pôle à l’équateur.

Donnons à l’équation de la surface de l’atmosphère la forme suivante

$r^{3}-{\frac {2r}{\alpha {\rm {R}}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {2}{\alpha \sin ^{2}\theta }}=0.$