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Les valeurs de $r$ qui conviennent au problème doivent être positives, et telles que $1-\alpha r^{3}\sin ^{2}\theta$ soit plus grand que zéro ; or il ne peut y avoir qu’une racine de cette nature ; car, si l’on nomme $p,p',p''$ les trois valeurs de $r$ données par l’équation précédente, et si l’on suppose $p$ et $p'$ positifs et moindres que ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{\alpha \sin ^{2}\theta }}},$ l’équation en $r$ manquant de son second terme, ce qui donne $p''=-p-p',\ p''$ serait négatif et moindre que ${\frac {2}{\sqrt[{3}]{\alpha \sin ^{2}\theta }}}\,;$ le produit $-pp'p''$ serait donc moindre que ${\frac {2}{\alpha \sin ^{2}\theta }}\,;$ mais, par la nature des équations, ce produit doit être égal à cette quantité ; la supposition précédente est donc impossible, et l’équation en $r$ n’a qu’une racine qui satisfait au problème, c’est-à-dire que l’atmosphère n’a qu’une figure possible d’équilibre.

Si l’on applique ces résultats à l’atmosphère solaire, on voit : 1^o qu’elle ne peut s’étendre que jusqu’à l’orbite d’une planète qui circulerait dans un temps égal à celui de la rotation de cet astre, c’est-à-dire en vingt-cinq jours et demi ; elle est donc fort loin d’atteindre les orbes de Mercure et de Vénus, et l’on sait que la lumière zodiacale s’étend beaucoup au delà. On voit : 2^o que le rapport du petit au grand axe de cette atmosphère ne peut être moindre que |, et la lumière zodiacale paraît sous la forme d’une lentille fort aplatie, dont le tranchant est dans le plan de l’équateur solaire. Le fluide qui nous réfléchit la lumière zodiacale n’est donc point l’atmosphère du Soleil, et, puisqu’il environne cet astre, il doit circuler autour de lui suivant les mêmes lois que les planètes ; c’est peut-être la cause pour laquelle il n’oppose qu’une résistance insensible à leurs mouvements.