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${\rm {K}}$ et ${\rm {L}}$ étant des fonctions de $\mu$ et de $\varpi$ dépendantes des fonctions ${\rm {G}}$ et ${\rm {H}}$ ; en effet, si dans l’équation

$y=l{\frac {\partial .u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-l{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}$

on substitue, au lieu de $y,\ u$ et $v$, leurs valeurs précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par $t$ et ceux qui en sont indépendants,

${\begin{aligned}0&={\frac {\partial .{\rm {G}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {K}}}{\partial \varpi }},\\0&={\frac {\partial .{\rm {H}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial {\rm {L}}}{\partial \varpi }},\end{aligned}}$

en sorte qu’en vertu des valeurs $u={\rm {G+H}}t,\ v={\rm {K+L}}t,$ la surface du fluide resterait toujours sphérique. Pour concevoir les mouvements du fluide dans cette hypothèse, imaginons qu’il ait un très-petit mouvement de rotation, de l’ordre $\alpha ,$ autour de l’axe du sphéroïde ; la figure sphérique du fluide n’en sera altérée que d’une quantité très-petite du second ordre, puisque la force centrifuge ne sera que de l’ordre $\alpha ^{2}$ ; dans ce cas, on aura $u=0$ et $v=qt{\sqrt {1-\mu ^{2}}},\ q$ étant un coefficient indépendant de $\mu$ et de $\varpi$ ; mais on peut concevoir le fluide tournant autour de tout autre axe, et de plus, ces mouvements étant supposés fort petits, le fluide mû en vertu d’un nombre quelconque de mouvements semblables conservera toujours, aux quantités près du second ordre, sa figure sphérique. Tous ces mouvements sont compris dans les formules

$u={\rm {G+H}}t,\qquad v={\rm {K+L}}t,$

${\rm {G,H,K,L}}$ étant des fonctions de $\mu$ et de $\varpi ,$ qui ont entre elles les relations précédentes. Ces mouvements ne nuisent point à la stabilité de l’équilibre ; d’ailleurs, ils doivent être bientôt anéantis par les frottements et les résistances de tout genre que le fluide éprouve.

3. Considérons présentement le cas de la nature, dans lequel le sphéroïde qui recouvre la mer a un mouvement de rotation. L’équation (1)