Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/212

du n^o 1 se transforme dans celle-ci

(A)

$y={\frac {\partial .\gamma u{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial .\gamma v}{\partial \varpi }}\,;$

l’équation (2) du même numéro donne les deux suivantes

(B)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n{\frac {\partial v}{\partial t}}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}&=g{\frac {\partial y}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}&=-{\frac {g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}}{1-\mu ^{2}}}+{\frac {\frac {\partial {\rm {V'}}}{\partial \varpi }}{1-\mu ^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

L’intégration générale de ces équations présente beaucoup de difficultés ; nous nous bornerons ici à un cas fort étendu, celui dans lequel $\gamma$ est une fonction de $\mu$ sans $\varpi ,$ et nous ferons

${\begin{aligned}y&=a\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\\u&=b\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\\v&=c\sin(it+s\varpi +\varepsilon ),\\y-{\frac {{\rm {V}}'}{g}}&=a'\cos(it+s\varpi +\varepsilon ),\end{aligned}}$

$a,b,c,a'$ étant des fonctions rationnelles de $\mu$ et de ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}$ et $s$ étant un nombre entier. En substituant ces valeurs dans les équations (A) et (B), nous aurons

${\begin{aligned}&a={\frac {\partial .\gamma b{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-s\gamma c,\\&i^{2}b+2nic\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}=-g{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}},\\&i^{2}c+{\frac {2nib\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}=-{\frac {gsa'}{1-\mu ^{2}}}.\end{aligned}}$

Ces deux dernières équations donnent

${\begin{aligned}b&={\frac {-g{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)+{\frac {2ngs}{i}}\mu a'}{\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}}}},\\\\c&={\frac {{\frac {2ng}{i}}{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\mu \left(1-\mu ^{2}\right)-gsa'}{\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right)\left(1-\mu ^{2}\right)}}.\end{aligned}}$