Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/214

or l’équation aux différences partielles en ${\rm {Y}}^{(f)}$ donne

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial a'}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}-{\frac {s^{2}a'}{1-\mu ^{2}}}+f(f+1)a'\,;$

l’équation (5) donnera donc

$i^{2}=f(f+1)lg\left(1-{\frac {3}{(2f+1)\rho }}\right).$

Les nombres $s$ et $f$ étant arbitraires, il est clair que l’on aura la partie de $y$ qui est indépendante de l’action des astres, en réunissant toutes les valeurs de $a\cos(it+s\varpi )$ correspondantes aux diverses valeurs que l’on peut donner à ces nombres.

Pour avoir la partie de $y$ qui dépend de l’action des astres, nommons $e\cos(it+s\varpi )$ un terme de l’expression de ${\rm {V'}}$ relatif à cette action, et tel qu’il satisfasse pour ${\rm {Y}}^{(f)}$ à l’équation précédente aux différences partielles en ${\rm {Y}}^{(f)}\,;$ on aura alors

$a'=a\left(1-{\frac {3}{(2f+1)\rho }}\right)-{\frac {e}{g}}\,;$

l’équation (5) donnera donc

$i^{2}a=lgf(f+1)\left(1-{\frac {3}{(2f+1)\rho }}\right)a-f(f+1)le,$

et par conséquent,

$a={\frac {f(f+1)le}{lgf(f+1)\left(1-{\frac {3}{(2f+1)\rho }}\right)-i^{2}}}\,;$

on aura ainsi la partie de y qui dépend de l’action des astres, et il est aisé de voir que ces résultats coïncident avec ceux du numéro précédent.

4. L’intégration de l’équation (4), dans le cas général où $n$ n’est pas nul et où la mer à une profondeur variable, surpasse les forces de l’analyse ; mais, pour déterminer les oscillations de l’océan, il n’est