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En substituant ces valeurs de $b$ et de $c$ dans la première et faisant, pour abréger,

$y={\frac {\gamma }{i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}}},$

on aura

(4)

$\left\{{\begin{aligned}a&=g{\frac {\partial .z\left[{\frac {2ns}{i}}\mu a'-{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]}{\partial \mu }}\\\\&+{\frac {2ngs\mu z}{i\left(1-\mu ^{2}\right)}}\left[{\frac {2ns}{i}}\mu a'-{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]+{\frac {s^{2}gza'\left(i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}\right)}{i^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)}}\end{aligned}}\right.$

Nous observerons ici que, si ${\frac {2ns}{i}}\mu a'-{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)$ est divisible par $i^{2}-4n^{2}\mu ^{2},$ le second membre de cette équation n’aura point à son dénominateur la fonction $i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}.$

L’équation (4) renferme ce que nous avons démontré dans le numéro précédent sur le cas de $n=0$ et de $\gamma$ égal à une constante $l$ ; car alors on a $z={\frac {l}{i^{2}}},$ ce qui change cette équation dans la suivante

(5)

$i^{2}a=lj\left(-{\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial a'}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {s^{2}a'}{1-\mu ^{2}}}\right).$

Supposons que $a\cos(it+s\varpi )$ satisfasse, pour ${\rm {Y}}^{(f)},$ à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {F}}^{(f)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {F}}^{(f)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+f(f+1){\rm {F}}^{(f)}\,;$

la partie de $a'\cos(it+s\varpi ),$ due à l’attraction d’une couche aqueuse dont le rayon intérieur est $1$ et le rayon extérieur est $1+\alpha y$, sera, par le numéro précédent, $-{\frac {4\pi }{(2f+1)g}}a\cos(it+s\varpi ),$ ou $-{\frac {3a}{(2f+1)\rho }}\cos(it+s\varpi ),$ à cause de $g={\frac {4}{3}}\pi \rho .$ En supposant donc nulle la partie de $a'$ correspondante à l’action des astres, on aura

$a'=\left(1-{\frac {3}{(2f+1)\rho }}\right)a\,;$