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Pour étendre les intégrales à la masse entière du fluide, il faut les prendre depuis $r=r_{\text{ı}}$ jusqu’à $r=r'$ depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi .$ En intégrant par rapport à $\mu ,$ et en observant que $y'est$ indépendant de $r,$ on aura

$\iint drd\mu {\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=$

$\int y'{\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-\int y'{\frac {\partial .\int {\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}d\mu +{\rm {const.}}$

Aux deux extrémités de l’intégrale, où $\mu =-1$ et $\mu =1$, on a

$y'{\frac {\partial u}{\partial t}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=0\,;$

donc

$0=\int y'{\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+{\rm {const.,}}$

et par conséquent

$\iint drd\mu {\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=-\int y'{\frac {\partial .\int {\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}d\mu \,;$

or on a

${\frac {\partial .\int {\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}=$

$\int dr{\frac {\partial .{\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}+{\frac {\partial u'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial u_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}$

partant,

$\iiint drd\mu d\varpi {\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}=$

$\iint y'd\mu d\varpi \left({\frac {\partial u_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial u'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-\int dr{\frac {\partial .{\frac {\partial u}{\partial t}}dr{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}\right).$

Pareillement, si l’on intègre relativement à $\varpi ,$ on a

$\iint drd\varpi {\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}=\int y'{\frac {\partial v}{\partial t}}dr-\int y'{\frac {\partial .\int {\frac {\partial v}{\partial t}}dr}{\partial \varpi }}d\varpi +{\rm {const}}.$

Aux deux extrémités de l’intégrale, où $\varpi =0$ et $\varpi =2\pi ,$ la valeur de