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$y'{\frac {\partial v}{\partial t}}$ est la même, puisqu’elle se rapporte à la même molécule ; on a donc

$\int y'{\frac {\partial v}{\partial t}}dr+{\rm {const.=0\,;}}$

partant,

$\iint drd\varpi {\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}=-\int y'{\frac {\partial .\int {\frac {\partial v}{\partial t}}dr}{\partial \varpi }}d\varpi \,;$

or on a

${\frac {\partial .\int {\frac {\partial v}{\partial t}}dr}{\partial \varpi }}=\int dr{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi \partial t}}+{\frac {\partial v'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial v_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }}\,;$

donc

$\iint drd\varpi {\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}=-\int y'd\varpi \left({\frac {\partial v'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial v_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }}+\int dr{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi \partial t}}\right),$

et par conséquent

$\iiint drd\mu d\varpi \left(g{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-g{\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}\right)$

$=\iint gy'd\mu d\varpi \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial u_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\partial u'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+{\frac {\partial v'}{\partial t}}{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}\\\\&-{\frac {\partial v_{\text{ı}}}{\partial t}}{\frac {\partial r_{\text{ı}}}{\partial \varpi }}-\int dr\left({\frac {\partial .{\frac {\partial u}{\partial t}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi \partial t}}\right)\end{aligned}}\right\}.$

Le second membre de cette équation se réduit, en vertu de l’équation (8), au terme $-\iint gy'{\frac {\partial y}{\partial t}}d\mu d\varpi \,;$ l’équation (9) devient donc

(10)

$\iiint drd\mu d\varpi \left[{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v}{\partial t}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]=-\iint d\mu d\varpi gy'{\frac {\partial y}{\partial t}}.$

Nous ferons abstraction ici de l’action des astres, pour ne considérer que l’action mutuelle des molécules de la mer et du sphéroïde terrestre. La valeur de ${\rm {V'}}$ est alors due à l’attraction d’une couche aqueuse dont, le rayon intérieur étant $r',$ le rayon extérieur est $r'+\alpha y,\ r'$ étant à très-peu près égal à l’unité. On a vu, dans le n^o 2, que, $y$ étant sup-