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posé égal à

${\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots ,}}$

on a

${\rm {V'}}={\frac {3g}{\rho }}\left({\rm {Y^{(0)}+{\frac {1}{3}}Y^{(1)}+{\frac {1}{5}}Y^{(2)}+{\frac {1}{7}}Y^{(3)}+\ldots }}\right)\,;$

or on a généralement

$\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Y}}^{(i')}d\mu d\varpi =0,$

lorsque $i$ et $i'$ sont des nombres différents ; on a donc

$\iint y'{\frac {\partial y}{\partial t}}d\mu d\varpi =$

$\iint d\mu d\varpi \left\{{\begin{aligned}&\left(1-{\frac {3}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(0)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(0)}}{\partial t}}+\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(1)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(1)}}{\partial t}}\\\\+&\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {Y}}^{(2)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(2)}}{\partial t}}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right){\rm {Y}}^{(3)}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(3)}}{\partial t}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$

Par le n^o 2, on a ${\rm {Y^{(0)}=0\,;}}$ l’équation (10) devient donc, en l’intégrant par rapport au temps $t$,

(11)

$\left\{{\begin{aligned}&\iiint drd\mu d\varpi \left[\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial t}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]={\rm {M}}-g\iint d\mu d\varpi \\\\&\times \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {Y}}^{(2)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{7\rho }}\right){\rm {Y}}^{(3)^{2}}+\ldots \right],\end{aligned}}\right.$

${\rm {M}}$ étant une constante arbitraire. Il est facile de voir que le premier membre de cette équation exprime, à très-peu près, la force vive de la masse fluide, en ne considérant que la vitesse relative de ses molécules sur le sphéroïde terrestre.

${\rm {M}}$ est une constante indépendante du temps $t$, et qui dépend de l’état initial du mouvement de la mer ; elle est très-petite, lorsque l’on suppose l’ébranlement primitif peu considérable.

Si $\rho$ est plus grand que l’unité, la fonction

$-g\iint d\mu d\varpi \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {Y}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {Y}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]$

sera constamment négative ; elle sera moindre que ${\rm {M}}$, puisque le premier membre de l’équation précédente est nécessairement positif ; ${\rm {Y^{(1)},{\rm {Y^{(2)},\ldots }}}}$ ne doivent donc point contenir d’exponentielles croissantes, ni