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et elles doivent se réduire à zéro, lorsque $t=0.$ Cela posé, si l’on substitue les valeurs précédentes dans l’équation (11), elle deviendra, en l’intégrant par rapport à $r,$

(12)

$\left\{{\begin{aligned}\iint &{\frac {\gamma d\mu d\varpi }{2}}\Sigma i^{2}\left[c^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)+b^{2}\right]\\\\&+\iint {\frac {\gamma d\mu d\varpi }{2}}\Sigma i^{2}\left[c^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)-b^{2}\right]\cos(2it+2\varepsilon )\\\\&+\iint \gamma d\mu d\varpi \Sigma ii_{1}\left[bb_{1}+cc_{1}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]\cos \left(it-i_{1}t+\varepsilon -\varepsilon _{1}\right)\\\\&+\iint \gamma d\mu d\varpi \Sigma ii_{1}\left[cc_{1}\left(1-\mu ^{2}\right)-bb_{1}\right]\cos \left(it+i_{1}t+\varepsilon +\varepsilon _{1}\right)\\\\={\rm {M}}&-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\Sigma \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]\\\\&-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\Sigma \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]\\\\&\qquad \qquad \times \cos(2it+2\varepsilon )\\\\&-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\Sigma \left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]\\\\&\qquad \qquad \times \left[\cos \left(it-i_{1}t+\varepsilon -\varepsilon _{1}\right)+\cos \left(it+i_{1}t+\varepsilon +\varepsilon _{1}\right)\right]\end{aligned}}\right.$

la caractéristique $\Sigma$ des intégrales finies s’étendant à toutes les valeurs $i,i_{1},\ldots \,;{\rm {P^{(1)},P^{(2)},\ldots }}$ sont les coefficients de $\cos(it+\varepsilon )$ dans ${\rm {Y^{(1)},Y^{(2)},\ldots \,;\ P_{1}^{(1)},P_{1}^{(2)},}}$ sont les coefficients de $\cos(i_{1}t+\varepsilon _{1})$ dans les mêmes quantités, et ainsi de suite. La comparaison des termes indépendants de $t,$ dans cette équation, donne

(13)$\quad \iint {\frac {\gamma d\mu d\varpi }{2}}\Sigma i^{2}\left[c^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)+b^{2}\right]=$

${\rm {M}}-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]$

on a ensuite

(14)$\quad \iint {\frac {\gamma d\mu d\varpi }{2}}\Sigma i^{2}\left[c^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)-b^{2}\right]=$

$-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]$

car le fluide peut avoir séparément chacune des oscillations simples relatives aux coefficients $i,i_{1},\ldots$ puisqu’en substituant pour $y,\ {\frac {\partial u}{\partial t}}$ et ${\frac {\partial v}{\partial t}}$ leurs valeurs précédentes dans les équations (A) et (B) du n^o 3, les termes affectés de $\sin(it+\varepsilon )$ et de $\cos(it+\varepsilon )$ doivent se détruire séparément ; or, en ne considérant que l’oscillation relative à l’angle $it+\varepsilon ,$ et supposant nuls tous les termes relatifs aux autres angles, l’équation (12) donne, en comparant les coefficients de $\cos(2it+2\varepsilon ),$ l’équation (14) ; on a donc, en rassemblant toutes les équations semblables