Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/243

à cette dernière équation,

$\iint {\frac {\gamma d\mu d\varpi }{2}}\Sigma i^{2}\left[c^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)-b^{2}\right]=$

$-g\iint {\frac {d\mu d\varpi }{2}}\left[\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right){\rm {P}}^{(1)^{2}}+\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)^{2}}+\ldots \right]$

Si l’on retranche cette équation de l’équation (13), on aura

$\iint \gamma d\mu d\varpi \Sigma i^{2}b^{2}={\rm {M.}}$

À l’origine du mouvement, on a, par la supposition, $y={\rm {Y}}^{(1)}=h\mu ,\ {\frac {\partial u}{\partial t}}=0,$${\frac {\partial v}{\partial t}}=0\,;$ l’équation (11) donne ainsi

$0={\rm {M}}-{\frac {4}{3}}gh^{2}\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)\,;$

partant,

$\iint \gamma d\mu d\varpi \left(i^{2}b^{2}+i_{1}^{2}b_{1}^{2}+\ldots \right)={\frac {4}{3}}g\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)h^{2}.$

Si $\rho$ est moindre que l’unité, ou, ce qui revient au même, si la densité de la mer surpasse la moyenne densité de la Terre, le second membre de cette équation est négatif ; le premier membre est donc pareillement négatif, ce qui est impossible, tant que $i^{2},i_{1}^{2},i_{2}^{2},\ldots$ sont positifs ; ainsi, dans ce cas, quelqu’une de ces quantités est négative, et par conséquent l’expression de $y$ renferme des exponentielles, et l’équilibre n’est point stable.