Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/246

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

On peut, au moyen de ces équations, déterminer généralement la loi de la profondeur de la mer qui rend les oscillations de la seconde espèce nulles pour tous les lieux de la Terre. En effet, relativement à ces oscillations, $i$ étant très-peu différent de $n,$ on peut supposer $i=n$ dans les équations précédentes. De plus, ${\rm {F}}$ et ${\rm {G}}$ étant nuls par la supposition, les valeurs de ${\rm {F'}}$ et de ${\rm {G'}}$ sont, par le n^o 7, ${\rm {M\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }}$ et $-{\rm {M\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,}}$ ${\rm {M}}$ étant une fonction de $t$ indépendante de $\mu$ et de $\varpi .$ En substituant ces valeurs dans l’équation précédente entre ${\rm {F,F'}}$ et ${\rm {G',}}$ on trouvera

0=\cos \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}+{\frac {\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\sin \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}.

L’équation entre ${\rm {G,G'}}$ et ${\rm {F'}}$ donnera

0=\sin \varpi {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}-{\frac {\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\cos \varpi }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}},

d’où l’on tire ${\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}=0,\ {\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=0,$ et par conséquent $\gamma$ égal à une constante. Les oscillations de la seconde espèce ne peuvent donc disparaître pour toute la Terre que dans le seul cas où la profondeur de la mer est constante.

Si les oscillations de la troisième espèce sont nulles pour toute la Terre, ${\rm {F}}$ et ${\rm {G}}$ sont nuls relativement à ces oscillations, et l’on a, par le n^o 9,

{\rm {F'=N\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,\qquad G'=-N\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi ,}}

${\rm {N}}$ étant une fonction de $t$ indépendante de $\mu$ et de $\varpi .$ On peut, de plus, supposer à très-peu près $i=2n\,;$ cela posé, l’équation entre ${\rm {F,F'}}$ , et ${\rm {G'}}$ donnera

0={\frac {2\gamma \cos 2\varpi }{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}\cos 2\varpi +{\frac {\left(1+\mu ^{2}\right){\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\sin 2\varpi }{2\left(1-\mu ^{2}\right)}}\,;

l’équation entre ${\rm {G,G'}}$ , et ${\rm {F'}}$ donnera

0={\frac {2\gamma \sin 2\varpi }{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}\sin 2\varpi -{\frac {\left(1+\mu ^{2}\right){\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}\cos 2\varpi }{2\left(1-\mu ^{2}\right)}}\,;