Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/247

d’où l’on tire ${\frac {\partial \gamma }{\partial \varpi }}=0$ et

$0={\frac {2\gamma }{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+\mu {\frac {\partial \gamma }{\partial \mu }}$

Cette dernière équation donne, en l’intégrant,

$\gamma ={\frac {\rm {A\left(1-\mu ^{2}\right)}}{\mu ^{2}}},$

${\rm {A}}$ étant une constante arbitraire. Suivant cette valeur de $\gamma ,$ la profondeur de la mer serait infinie lorsque $\mu =0,$ ou à l’équateur, ce qui ne peut pas être admis ; il n’y a donc aucune loi admissible de profondeur de la mer qui puisse rendre nulles pour toute la Terre les oscillations de la troisième espèce.

La rapidité du mouvement angulaire de rotation de la Terre, relativement au mouvement angulaire du Soleil et de la Lune, permettant de supposer $i=n$ dans les oscillations de la seconde espèce, et $i=2n$ dans les oscillations de la troisième espèce, il est facile de conclure de l’analyse précédente et des n^o 6, 8 et 9 que, si l’on marque d’un trait, pour la Lune, les quantités ${\rm {L}},v,\psi$ et $r$ que nous supposerons se rapporter au Soleil, l’élévation $\alpha y$ d’une molécule de la surface de la mer au-dessus de la surface d’équilibre qui aurait lieu sans l’action de ces deux astres est, à fort peu près, de la forme

${\begin{aligned}\alpha y=&-{\frac {1+3\cos 2\theta }{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}v'\right)\right]\\\\&+{\rm {A}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\sin v\cos v\cos(nt+\varpi -\psi -{\text{ϐ}})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\sin v'\cos v'\cos(nt+\varpi -\psi '-{\text{ϐ}})\right]\\\\&+{\rm {B}}\left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v\cos 2(nt+\varpi -\psi -\lambda )\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'\cos 2(nt+\varpi -\psi '-\lambda )\right],\end{aligned}}$

${\rm {A,B,}}$ ϐ et $\lambda$ étant des fonctions de $\mu$ et de $\varpi ,$ dépendantes de la loi de la profondeur de la mer. La généralité de cette forme embrasse un grand nombre de variétés des phénomènes des marées, qui peuvent avoir lieu dans les différents ports. Lorsque la Terre est un solide de révolution, il résulte des n^o 7 et 9 que l’instant du maximum ou du