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On peut observer que, ces expressions ayant lieu pour tous les points intérieurs, et par conséquent pour les points infiniment voi\sins de la surface, elles ont lieu pour les points mêmes de la surface.

La détermination des attractions du sphéroïde ne dépend ainsi que de la valeur de ${\rm {F}}$ ; mais, quoique cette valeur ne soit qu’une intégrale définie, elle a cependant toute la difficulté des intégrales indéfinies, lorsque $\lambda$ et $\lambda '$ sont indéterminées ; car, si l’on représente cette intégrale définie, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ par $\varphi (\lambda ^{2},\lambda '^{2}),$ il est aisé de voir que l’intégrale indéfinie sera $x^{2}\varphi (\lambda ^{2}x^{2},\lambda '^{2}x^{2})$ ; en sorte que, la première étant donnée, la seconde l’est pareillement. L’intégrale indéfinie n’est possible en elle-même que lorsque l’une des quantités $\lambda$ et $\lambda '$ est nulle, ou lorsqu’elles sont égales ; dans ces deux cas, le sphéroïde est un ellipsoïde de révolution, et $k$ sera son demi-axe de révolution si $\lambda$ et $\lambda '$ sont égaux. On a, dans ce dernier cas,

${\rm {F}}=\int {\frac {x^{2}dx}{1+\lambda ^{2}x^{2}}}={\frac {1}{\lambda ^{3}}}(\lambda -\operatorname {arctang} \lambda ).$

Pour en conclure les différences partielles ${\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}$ et ${\frac {\partial .\lambda '{\rm {F}}}{\partial \lambda '}},$ qui entrent dans les expressions de ${\rm {B}}$ et de ${\rm {C,}}$ on observera que

$d{\rm {F}}={\frac {d\lambda }{\lambda }}{\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}+{\frac {d\lambda '}{\lambda '}}{\frac {\partial .\lambda '{\rm {F}}}{\partial \lambda '}}-{\rm {F}}\left({\frac {d\lambda }{\lambda }}+{\frac {d\lambda '}{\lambda '}}\right)\,;$

or on a, lorsque $\lambda$ est égal à $\lambda ',$

${\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}={\frac {\partial .\lambda '{\rm {F}}}{\partial \lambda '}},\qquad {\frac {d\lambda }{\lambda }}={\frac {d\lambda '}{\lambda '}}\,;$

partant

${\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}d\lambda ={\frac {1}{2}}\lambda d\lambda {\rm {F}}+{\rm {F}}d\lambda ={\frac {1}{2\lambda }}d.\lambda ^{2}{\rm {F}}.$

En substituant, au lieu de ${\rm {F,}}$ sa valeur, on aura

${\frac {\partial .\lambda {\rm {F}}}{\partial \lambda }}={\frac {1}{2\lambda ^{3}}}\left(\operatorname {arctang} \lambda -{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)\,;$