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${\rm {R=0}}$ jusqu’à la valeur de ${\rm {R}}$ à la surface, valeur que nous désignerons par ${\rm {R',}}$ on aura

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left[1-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left[1-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {1}{5}}\iint R^{'5}d\mu d\varpi \left(l-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}$

Supposons ${\rm {R^{'5}}}$ développé dans une série de cette forme

${\rm {R^{'5}=U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}+\ldots ,}}$

${\rm {U^{(i)}}}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U^{(i)}}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U^{(i)}}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U^{(i)}.}}$

La fonction $1-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi$ est égale à ${\frac {2}{3}}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]$ : la constante ${\frac {2}{3}}$ est comprise dans la forme ${\rm {U}}^{(0)},$ et la fonction ${\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi$ est de la forme ${\rm {U}}^{(2)},$ puisqu’elle satisfait pour ${\rm {U}}^{(2)}$ à l’équation précédente aux différences partielles. Pareillement, $1-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi$ est égal à ${\frac {2}{3}}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],$ et le second terme de cette expression est de la forme ${\rm {U}}^{(2)}.$ Enfin la fonction $1-\mu ^{2}$ est égale à ${\frac {2}{3}}+\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)$ et la partie ${\frac {1}{3}}-\mu ^{2}$ est de la forme ${\rm {U}}^{(2)}\,;$ on aura donc, en vertu du théorème que nous avons démontré dans le Livre III, n^o 12,

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left\{{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]{\rm {U}}^{(2)}\right\},\\{\rm {B}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left\{{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right]{\rm {U}}^{(2)}\right\},\\{\rm {C}}&={\frac {1}{5}}\iint d\mu d\varpi \left[{\frac {2}{3}}{\rm {U}}^{(0)}+\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right){\rm {U}}^{(2)}\right].\end{aligned}}$

Les intégrales doivent être prises depuis $\mu =-1$ jusqu’à $\mu =1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi ,$ ce qui donne

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {8}{15}}\pi {\rm {U}}^{(0)}+{\frac {1}{5}}\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}$