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La fonction ${\rm {U}}^{(2)}$ est de cette forme

${\begin{aligned}{\rm {H\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)}}&+{\rm {H'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +H''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }}\\&+{\rm {H'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +H^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 3\varpi .}}\end{aligned}}$

La considération des axes principaux donne, par le n^o 31 du Livre III,

${\rm {H'=0,\qquad H''=0,\qquad H'''=0.}}$

Ces trois équations renferment toutes les conditions nécessaires pour que les trois axes soient des axes principaux. On aura ainsi

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\rm {{\frac {8\pi }{15}}U^{(0)}-{\frac {8\pi }{9.5^{2}}}H-{\frac {8\pi }{3.5^{2}}}H^{iv},}}\\{\rm {B}}&={\rm {{\frac {8\pi }{15}}U^{(0)}-{\frac {8\pi }{9.5^{2}}}H+{\frac {8\pi }{3.5^{2}}}H^{iv},}}\\{\rm {C}}&={\rm {{\frac {8\pi }{15}}U^{(0)}+{\frac {16\pi }{9.5^{2}}}H.}}\end{aligned}}$

Si l’on veut que les trois moments d’inertie ${\rm {A,B,C}}$ soient égaux entre eux, on aura ${\rm {H=0,\ H^{iv}=0,}}$ et par conséquent ${\rm {U}}^{(2)}=0$ ; cette dernière équation satisfait donc à la fois aux conditions des trois axes principaux et à l’égalité des trois moments d’inertie. Or on a vu, dans le n^o 27 du Livre I, qu’alors les moments d’inertie sont égaux par rapport à tous les axes ; la sphère n’est donc pas le seul solide qui jouisse de cette propriété. L’analyse précédente donne l’équation générale de tous les solides auxquels elle appartient, équation que nous avons annoncée dans le numéro cité du Livre I. On doit observer ici que ces résultats sont indépendants de la supposition que l’origine de ${\rm {R'}}$ passe par le centre de gravité du sphéroïde, et qu’ainsi ils ont lieu, quel que soit le point où l’on fixe cette origine dans son intérieur.

La Terre étant supposée formée d’une infinité de couches variables du centre à la surface, le rayon ${\rm {R}}$ d’une de ses couches peut toujours être exprimé de cette manière

${\rm {R}}=a+\alpha a\left({\rm {Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots }}\right),$

$\alpha$ étant un très-petit coefficient constant, et ${\rm {Y^{(1)},{\rm {Y^{(2)},\ldots }}}}$ étant des