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par la condition de l’équilibre des fluides répandus sur la Terre,

$\int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)={\frac {5}{3}}\left[{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {1}{2}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\right]\int \rho d.a^{3},$

la valeur de ${\rm {Y}}^{(2)}$ dans le second membre de cette équation étant relative à la surface de la Terre, et les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1$ ; on aura par conséquent

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \int \rho d.a^{3}\\&\ \ \qquad \qquad \qquad +{\frac {5\alpha }{3}}\iint {\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right]\int \rho d.a^{3},\\{\rm {B}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}+{\frac {4\alpha \pi }{27}}\varphi \int \rho d.a^{3}\\&\ \ \qquad \qquad \qquad +{\frac {5\alpha }{3}}\iint {\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right]\int \rho d.a^{3},\\{\rm {C}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}-{\frac {8\alpha \pi }{27}}\varphi \int \rho d.a^{3}\\&\ \ \qquad \qquad \qquad +{\frac {5\alpha }{3}}\iint {\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\int \rho d.a^{3}.\end{aligned}}$

La fonction ${\rm {Y}}^{(2)}$ est de cette forme

${\begin{aligned}h\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)&+h'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +h''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+h'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +h^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .\end{aligned}}$

La considération des axes principaux donne, par le n^o 32 du Livre III,

$h'=0,\qquad h''=0,\qquad h'''=0,$

et par conséquent

${\rm {Y}}^{(2)}=h\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)+h^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

On a vu, dans le Livre III, que, la variation de la pesanteur étant à très-peu près proportionnelle au carré du sinus de la latitude, la valeur de $h^{\rm {iv}}$ doit être très-petite ; elle serait nulle, en effet, si la Terre était un solide de révolution ; mais, pour plus de généralité, nous la conserverons dans les recherches suivantes ; nous aurons ainsi

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi \right)\int \rho d.a^{3}-{\frac {8}{9}}\alpha \pi h^{\rm {iv}}\int \rho d.a^{3},\\{\rm {B}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}-{\frac {8}{27}}\alpha \pi \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi \right)\int \rho d.a^{3}+{\frac {8}{9}}\alpha \pi h^{\rm {iv}}\int \rho d.a^{3},\\{\rm {C}}&={\frac {8\pi }{15}}\int \rho d.a^{5}+{\frac {16}{27}}\alpha \pi \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi \right)\int \rho d.a^{3}.\end{aligned}}$