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fonctions de la même nature que ${\rm {U^{(1)},U^{(2)},\ldots ,}}$ c’est-à-dire qui peuvent satisfaire à la même équation aux différences partielles, et qui, de plus, peuvent renfermer a d’une manière quelconque. En négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aura

${\rm {R}}^{5}=a^{5}+5\alpha a^{5}\left({\rm {Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+\ldots }}\right)\,;$

partant, si l’on conçoit un solide homogène d’une densité représentée par l’unité, et dont le rayon de la surface soit celui de la couche dont il s’agit, on aura, relativement à ce solide,

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}+\alpha \iint a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}+\alpha \iint a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}+\alpha \iint a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}$

En différenciant ces valeurs par rapport à $a,$ et en les multipliant ensuite par la densité de la couche dont le rayon est ${\rm {R}}$, densité que nous représenterons par $\rho ,\ \rho$ étant une fonction quelconque de $a,$ on aura les moments d’inertie de cette couche, et, pour avoir ceux de la Terre entière, il suffira d’intégrer les moments de la couche par rapport à $a,$ depuis $a=0$ jusqu’à la valeur de $a$ relative à la surface de la Terre, valeur que nous désignerons par l’unité. On aura ainsi

${\begin{aligned}{\rm {A}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}\int \rho d.a^{5}+\alpha \iiint \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi \right],\\{\rm {B}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}\int \rho d.a^{5}+\alpha \iiint \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)d\mu d\varpi \left[{\frac {1}{3}}-\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi \right],\\{\rm {C}}&={\frac {8\pi a^{5}}{15}}\int \rho d.a^{5}+\alpha \iiint \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)d\mu d\varpi \left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right).\end{aligned}}$

la différence $d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)$ étant uniquement relative à la variable $a$.

Il résulte de l’équation (2) du n^o 29 du Livre III que, si l’on nomme $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, on a.