Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/356

7. Les valeurs de $\psi$ et de $\theta$ sont relatives à un plan fixe ; pour avoir ces valeurs par rapport à l’écliptique vraie, considérons le triangle sphérique formé par l’écliptique fixe, par l’écliptique vraie et par l’équateur. Il est aisé de voir que la différence des deux arcs interceptés entre l’équateur et le nœud ascendant de l’orbe solaire, dans ce triangle, est à très-peu près égale au produit de $\cot \theta$ par l’inclinaison de l’orbe solaire à l’écliptique fixe et par le sinus de la longitude de son nœud ; cette différence est donc égale à $\cot \theta \Sigma c\sin(ft+{\text{ϐ}})\,;$ or, si l’on nomme $\psi '$ la distance de l’intersection de l’écliptique vraie et de l’équateur à l’origine invariable d’où l’on compte l’angle $\psi$ sur le plan fixe, on aura, à très-peu près, $\psi -\psi '$ pour cette différence ; on aura donc

$\psi -\psi '=\cot \theta \Sigma c\sin(ft+{\text{ϐ}}),$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\psi '=lt&+\zeta +\Sigma \left(1+{\frac {l}{f}}\operatorname {tang} ^{2}h\right){\frac {l-f}{f}}\coth .c\sin(ft+{\text{ϐ}})\\\\&+{\frac {l\lambda }{(1+\lambda )f'}}{\frac {\cos ^{2}h-\sin ^{2}h}{\sin h\cos h}}c'\sin(f't+{\text{ϐ}}')-{\frac {l}{2m(1+\lambda )}}\sin 2\nu \\\\&-{\frac {l\lambda }{2m'(1+\lambda )}}\sin 2\nu '.\end{aligned}}$

Si l’on nomme ensuite $\theta '$ l'inclinaison de l’écliptique vraie sur l’équateur, on trouvera facilement, en considérant le triangle sphérique précédent, et en observant que $\theta '-\theta$ est fort petit,

$\theta '-\theta =\Sigma c\cos(ft+{\text{ϐ}})\,;$

on aura par conséquent

${\begin{aligned}\theta '=h&+\Sigma {\frac {f-l}{f}}c\cos(ft+{\text{ϐ}})+{\frac {l\lambda }{(1+\lambda )f'}}c'\cos(f't+{\text{ϐ}}')\\\\&+{\frac {l\operatorname {tang} h}{2m(1+\lambda )}}\left(\cos 2\nu +{\frac {m}{m'}}\lambda \cos 2\nu '\right)\end{aligned}}$

La partie $\Sigma {\frac {f-l}{f}}c\cos(ft+{\text{ϐ}})$ de cette expression donne la variation séculaire de l’obliquité de l’écliptique vraie sur l’équateur. Si la Terre