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$u$ étant fonction des coordonnées $x',y',z'$ qui déterminent la position du point dont il s’agit ; on aura

${\begin{aligned}x'&={\rm {R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,}}\\y'&={\rm {R{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,}}\\z'&={\rm {R\mu .}}\end{aligned}}$

La base de la petite colonne que nous venons de considérer peut être supposée égale à ${\rm {R^{2}d\mu d\varpi \,;}}$ la pression de cette colonne est donc $\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi .}}$ Cette pression. est perpendiculaire à la surface du sphéroïde ; en la décomposant en trois forces parallèles aux axes des $x'$ des $y'$ et des $z',$ et supposées tendre à augmenter ces coordonnées, on aura pour ces forces, par le n^o 3 du Livre I,

$-{\frac {\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}{\frac {\partial u}{\partial x'}},\qquad -{\frac {\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}{\frac {\partial u}{\partial y'}},\qquad -{\frac {\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}{\frac {\partial u}{\partial z'}},$

$f$ étant égal à ${\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z'}}\right)^{2}}}.$ L’équation à la surface du sphéroïde est de cette forme

$x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}=1+2q,$

$q$ étant une fonction très-petite de $x',y',z',$ dont nous négligerons le carré ; on a donc

$u=x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}-1-2q,$

ce qui change les expressions des trois forces précédentes dans celles-ci

${\begin{aligned}&-{\frac {2\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}\left(x'-{\frac {\partial q}{\partial x'}}\right),\\&-{\frac {2\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}\left(y'-{\frac {\partial q}{\partial y'}}\right),\\&-{\frac {2\alpha gy{\rm {R^{2}d\mu d\varpi }}}{f}}\left(z'-{\frac {\partial q}{\partial z'}}\right)\,;\end{aligned}}$