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fonction de $a,b,c,k,m$ et $n,$ et $v$ étant considéré, dans leurs seconds membres, comme fonction de $a,b,c,\theta ,\varpi$ et $k.$ Si l’on fait

${\rm {Q}}=a{\frac {\partial v}{\partial a}}+b{\frac {\partial v}{\partial b}}+c{\frac {\partial v}{\partial c}},$

on aura ${\rm {F=-MQ,}}$ et l’on aura les valeurs de $k{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial k}},{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial m}},{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial n}},$ en changeant, dans les valeurs précédentes de $k{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial k}},{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial m}}$ et ${\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial n}},v$ dans $-{\rm {Q.}}$ De plus, ${\rm {V}}$ et ${\rm {F}}$ sont des fonctions homogènes en $a,b,c,k,{\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }},$ de la seconde dimension ; car, ${\rm {V}}$ étant la somme des molécules du sphéroïde divisées par leurs distances au point attiré, et chaque molécule étant de trois dimensions, ${\rm {V}}$ est nécessairement de deux dimensions, ainsi que ${\rm {F,}}$ qui a le même nombre de dimensions que ${\rm {V\,;\ v}}$ et ${\rm {Q}}$ sont donc des fonctions homogènes des mêmes quantités, de la dimension $-1$ ; ainsi l’on aura, par la nature des fonctions homogènes,

$a{\frac {\partial v}{\partial a}}+b{\frac {\partial v}{\partial b}}+c{\frac {\partial v}{\partial c}}+2\theta {\frac {\partial v}{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+k{\frac {\partial v}{\partial k}}=-v,$

équation que l’on peut mettre sous cette forme,

$2\theta {\frac {\partial v}{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+k{\frac {\partial v}{\partial k}}=-v-{\rm {Q.}}$

On aura pareillement

$a{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial a}}+b{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial b}}+c{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial c}}+2\theta {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \varpi }}+k{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial k}}=-{\rm {Q}}.$

Cela posé, si dans l’équation (1) on substitue, au lieu de ${\rm {V}}$ et de ${\rm {F}}$ et de leurs différences partielles, leurs valeurs précédentes ; si, de plus, on y substitue ${\frac {k^{2}}{k^{2}+\theta }}$ au lieu de $m,$ et ${\frac {k^{2}}{k^{2}+\varpi }}$ au lieu de $n,$ on aura

(2)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left[v+{\frac {1}{2}}{\rm {Q}}-{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial a}}+b{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial b}}+c{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial c}}\right)\right]\\\\&+\theta ^{2}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \theta }}+\varpi ^{2}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial \varpi }}-{\frac {k^{3}}{2}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial k}}+{\frac {1}{2}}(\theta +\varpi ){\rm {Q}}\\\\&+b\theta {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial b}}+c\varpi {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial c}}-{\frac {1}{2}}b\theta {\frac {\partial v}{\partial b}}-{\frac {1}{2}}c\varpi {\frac {\partial v}{\partial c}}.\end{aligned}}\right.$