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à différences partielles,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-k^{2}}{2}}k\left({\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial k}}-{\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial k}}\right)+k^{2}({\rm {V-F)}}\\\\&+k^{2}{\frac {m-1}{m}}b\left({\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial b}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial b}}-{\rm {B}}\right)\\\\&+k^{2}{\frac {n-1}{n}}c\left({\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial c}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial c}}-{\rm {C}}\right)\\\\&-k^{2}(m-1){\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial m}}-k^{2}(n-1){\frac {\partial {\rm {F}}}{\partial n}}.\end{aligned}}\right.$

On peut éliminer de cette équation les quantités ${\rm {B,C}}$ et ${\rm {F,}}$ au moyen de leurs valeurs $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial b}},-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial c}}$ et $-a{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial a}}-b{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial b}}-c{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial c}}\,;$ on aura ainsi une équation aux différences partielles en ${\rm {V}}$ seul. Soit donc

${\rm {V}}={\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}}v={\rm {M}}v,$

${\rm {M}}$ étant, par le n^o 1, la masse du sphéroïde elliptique, et, au lieu des variables $m$ et $n$, introduisons celles-ci $\theta$ et $\varpi$, qui soient telles que l’on ait

$\theta ={\frac {1-m}{m}}k^{2},\qquad \varpi ={\frac {1-n}{n}}k^{2}\,;$

$\theta$ sera la différence du carré de l’axe du sphéroïde parallèle aux $y,$ au carré de l’axe parallèle aux $x\,;\ \varpi$ sera la différence du carré de l’axe des $z$ au carré de l’axe des $x$ ; en sorte que, si l’on prend pour l’axe des $x$ le plus petit des trois axes du sphéroïde, ${\sqrt {\theta }}$ et ${\sqrt {\varpi }}$ seront ses deux excentricités. On aura ainsi

${\begin{aligned}k{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial k}}&=\ \ {\rm {M}}\left(2\theta {\frac {\partial v}{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+k{\frac {\partial v}{\partial k}}+3v\right),\\\\{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial m}}&=-{\rm {M}}\left({\frac {k^{2}}{m^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {v}{2m}}\right),\\\\{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial n}}&=-{\rm {M}}\left({\frac {k^{2}}{n^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+{\frac {v}{2n}}\right),\end{aligned}}$

${\rm {V}}$ étant considéré, dans les premiers membres de ces équations, comme