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d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-p{\frac {ds'}{dt}}-s'{\frac {dp}{dt}}&={\frac {dr}{dt}},\\{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+p{\frac {ds}{dt}}+s{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {dq}{dt}}.\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs de ${\frac {dr}{dt}}$ et de $-{\frac {dq}{dt}}$ dans les deux dernières des équations (G’), et observant que l’on peut supposer $p=m$ dans les produits de $p$ et de sa différentielle par les variables très-petites $s,s'$ et par leurs différences, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds}{dt}}=&{\rm {\frac {C-B}{A}}}mr+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {B-C}{A}}}\\&\qquad \qquad \times \left[\left(Y^{2}\theta +YZ\right)\cos \varphi -\left(XY\theta +XZ\right)\sin \varphi \right],\\{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-m{\frac {ds'}{dt}}=&{\rm {\frac {C-A}{B}}}mq+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{5}}}{\rm {\frac {A-C}{B}}}\\&\qquad \qquad \times \left[\left(XY\theta +XZ\right)\cos \varphi +\left(Y^{2}\theta +YZ\right)\sin \varphi \right].\end{aligned}}$

Maintenant on a

$r={\frac {ds}{dt}}-ms',\qquad q=-{\frac {ds'}{dt}}-ms\,;$

on a ensuite

$X=r_{\text{ı}}\cos v\,;\qquad Y=r_{\text{ı}}\sin v\,;$

de plus, $v-\varphi$ est toujours, par ce qui précède, un très-petit angle, de manière que l’on peut négliger son produit par les quantités $\theta$ et ${\rm {Z}}$ ; les équations différentielles précédentes deviendront ainsi, en y substituant $m^{2}$ au lieu de ${\frac {\rm {L}}{r_{\text{ı}}^{3}}},$

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+{\rm {\frac {A+B-C}{A}}}m{\frac {ds}{dt}}-m^{2}{\rm {{\frac {B-C}{A}}s'=0,}}\\&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-{\rm {\frac {A+B-C}{B}}}m{\frac {ds'}{dt}}-4m^{2}{\rm {\frac {A-C}{B}}}s=3m^{2}{\rm {\frac {A-C}{B}}}{\frac {\rm {Z}}{r_{\text{ı}}}}.\end{aligned}}$

${\frac {\rm {Z}}{r_{\text{ı}}}}$ est la latitude de la Terre vue de la Lune, au-dessus du plan fixe, latitude qui est égale et de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre ; on aura donc, par le n^o 5,

${\frac {\rm {Z}}{r_{\text{ı}}}}=c'\sin(mt+g't+{\text{ϐ}}')+\Sigma c\sin(mt-gt-{\text{ϐ}}),$