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ainsi que l’origine de $r''.$ Nommons ${\rm {X',Y',Z'}}$ les coordonnées de l’astre ${\rm {L}}$, rapportées au plan de l’équateur de Saturne, l’axe des ${\rm {X'}}$ étant la ligne d’intersection du plan de l’équateur et de celui de l’anneau ; on aura, entre ${\rm {X',Y',Z',X'',Y'',Z'',}}$ les mêmes relations que les précédentes entre $x',y',z',x'',y'',z''$ d’où l’on tire

${\begin{aligned}{\rm {X''}}&={\rm {X'\cos \varphi +Y'\sin \varphi -\theta Z'\sin \varphi ,}}\\{\rm {Y''}}&={\rm {Y'\cos \varphi -X'\sin \varphi -\theta Z'\cos \varphi ,}}\\{\rm {Z''}}&={\rm {Z'+\theta Y',}}\end{aligned}}$

et par conséquent,

${\begin{aligned}{\rm {X''Y''}}&={\rm {{\frac {Y^{'2}-X^{'2}}{2}}\sin 2\varphi +X'Y'\cos 2\varphi -\theta Z'(Y'\sin 2\varphi +X'\cos 2\varphi ),}}\\{\rm {X''Z''}}&={\rm {Z'Y'\sin \varphi +Z'X'\cos \varphi +\theta \left[\left(Y^{'2}-Z^{'2}\right)\sin \varphi +X'Y'\cos \varphi \right],}}\\{\rm {Y''Z''}}&={\rm {Z'Y'\cos \varphi -Z'X'\sin \varphi +\theta \left[\left(Y^{'2}-Z^{'2}\right)\cos \varphi -X'Y'\sin \varphi \right].}}\end{aligned}}$

Nommons $v$ l’angle que le rayon $r''$ forme avec la ligne d’intersection de l’orbite de ${\rm {L}}$ et de l’équateur de Saturne ; soient $\psi$ l’angle que l’intersection du plan de l’anneau et de l’équateur forme avec cette intersection, et $\theta '$ l'inclinaison de l’orbite de ${\rm {L}}$ sur le plan de l’équateur de Saturne ; on aura

${\begin{aligned}{\rm {X'}}&=r''\cos v\cos \psi -r''\sin v\cos \theta '\sin \psi ,\\{\rm {Y'}}&=r''\sin v\cos \theta '\cos \psi +r''\cos v\sin \psi ,\\{\rm {Z'}}&=r''\sin v\sin \theta ',\end{aligned}}$

ce qui donne, en négligeant les termes dépendants des sinus et cosinus de l’angle $v$ et de ses multiples, et ceux qui dépendent de l’angle $2\varphi ,$ tous ces termes restant insensibles par les intégrations,

${\begin{aligned}{\rm {X''Y''}}&=0,\\{\rm {X''Z''}}&={\frac {r'^{'2}}{2}}\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi )+{\frac {r'^{'2}\theta }{2}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\sin \varphi \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {r'^{'2}}{4}}\theta \sin ^{2}\theta '\sin(\varphi -2\psi ),\\{\rm {Y''Z''}}&={\frac {r'^{'2}}{2}}\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi )+{\frac {r'^{'2}\theta }{2}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\cos \varphi \\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {r'^{'2}}{4}}\theta \sin ^{2}\theta '\cos(\varphi -2\psi ).\end{aligned}}$