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On aura donc, par l’action de l’astre ${\rm {L}}$,

${\begin{aligned}{\frac {d{\rm {N}}}{dt}}=&0,\\{\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}=&{\rm {{\frac {3L}{2r''^{3}}}(C-A)\times }}\\&\left[{\begin{aligned}&\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi )+\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\theta \sin \varphi \\&\qquad -{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\sin(\varphi -2\psi )\end{aligned}}\right].\\\\{\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}=&{\rm {{\frac {3L}{2r''^{3}}}(C-B)\times }}\\&\left[{\begin{aligned}&\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi )+\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\theta \cos \varphi \\&\qquad -{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\cos(\varphi -2\psi )\end{aligned}}\right].\end{aligned}}$

On doit observer ici que ces valeurs de ${\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}$ et de ${\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}$ se rapportent au plan même de l’anneau et à ses axes principaux, au lieu que les valeurs précédentes, relatives à l’action de Saturne, se rapportent au plan de l’équateur de Saturne ; il faut donc, en substituant dans les équations (D’) du n^o 1 les expressions précédentes relatives à l’action de Saturne, supposer dans ces équations $\sin \theta =0$ et $\cos \theta =1,$ à cause de la petitesse de $\theta ,$ dont nous négligeons le carré ; mais, en substituant dans les mêmes équations les valeurs précédentes de ${\frac {d{\rm {N'}}}{dt}}$ et ${\frac {d{\rm {N''}}}{dt}}$ relatives à l’action de l’astre ${\rm {L}}$, il faut supposer auparavant dans ces équations $\sin \theta =0,\ \cos \theta =1,\ \sin \varphi =0,\ \cos \varphi =1\,;$ on aura donc, en réunissant toutes ces valeurs,

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}+{\rm {\frac {B-A}{C}}}qr&=0,\\{\frac {dq}{dt}}+{\rm {\frac {C-B}{A}}}rp&={\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}{\rm {{\frac {C-B}{A}}\theta \cos \varphi }}\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{2r''^{3}}}{\rm {{\frac {C-B}{A}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\theta \cos \varphi }}\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{2r''^{3}}}{\rm {{\frac {C-B}{A}}\times }}\\&\qquad \left[\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi )-{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\cos(\varphi -2\psi )\right],\\{\frac {dr}{dt}}+{\rm {\frac {A-C}{B}}}pq&={\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}{\rm {{\frac {A-C}{B}}\theta \sin \varphi }}\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{2r''^{3}}}{\rm {{\frac {A-C}{B}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)\theta \sin \varphi }}\\&+{\frac {3{\rm {L}}}{2r''^{3}}}{\rm {{\frac {A-C}{B}}\times }}\\&\qquad \left[\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi )-{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\sin(\varphi -2\psi )\right]\,;\end{aligned}}$