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Ce point étant extérieur par rapport aux autres couches, on déterminera la partie de ${\rm {V}}$ qui leur est relative, par la première expression de ${\rm {V}}$ en série.

10. Considérons d’abord les sphéroïdes très-peu différents de la sphère, et déterminons les fonctions ${\rm {U}}^{(0)},{\rm {U}}^{(1)},{\rm {U}}^{(2)},\ldots ,v^{(0)},v^{(1)},v^{(2)},\ldots ,$ relatives à ces sphéroïdes. Il existe une équation différentielle en ${\rm {V}}$, qui a lieu à leur surface, et qui est remarquable en ce qu’elle donne le moyen de déterminer ces fonctions sans aucune intégration.

Supposons généralement la pesanteur proportionnelle à une puissance $n$ de la distance ; soit $d{\rm {M}}$ une molécule du sphéroïde, et $f$ sa distance au point attiré ; nommons ${\rm {V}}$ l’intégrale $\iint ^{n+1}d{\rm {M}},$ cette intégrale s’étendant à la masse entière du sphéroïde. Dans le cas de la nature, où $n=-2,$ elle devient $\int {\frac {d{\rm {M}}}{f}},$ et nous l’avons pareillement exprimée par ${\rm {V}}$ dans les numéros précédents. La fonction ${\rm {V}}$ a l’avantage de donner par sa différentiation l’attraction du sphéroïde parallèlement à une droite quelconque ; car, en considérant $f$ comme une fonction de trois coordonnées du point attiré perpendiculaires entre elles et dont l’une soit parallèle à cette droite, si l’on nomme $r$ cette coordonnée, l’attraction du sphéroïde suivant $r$ et dirigée vers son origine sera $\int f^{n}{\frac {\partial f}{\partial r}}d{\rm {M}}\,;$ elle sera par conséquent égale à ${\frac {1}{n+1}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}},$ ce qui, dans le cas de la nature, se réduit à $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}},$ conformément à ce que nous avons trouvé précédemment.

Supposons maintenant que le sphéroïde diffère très-peu d’une sphère du rayon $a,$ dont le centre soit sur le rayon $r$ perpendiculaire à la surface du sphéroïde, l’origine de ce rayon étant supposée arbitraire, mais très-près du centre de gravité du sphéroïde ; supposons, de plus, que la sphère touche le sphéroïde, et que le point attiré soit au point de contact des deux surfaces. Le sphéroïde est égal à la sphère, plus à l’excès du sphéroïde sur la sphère ; or on peut concevoir cet excès comme étant formé d’un nombre infini de molécules répandues sur la surface de la sphère, ces molécules devant être supposées négatives,