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partout où la sphère excède le sphéroïde ; on aura donc la valeur de ${\rm {V}}$, en déterminant cette valeur : 1^o relativement à la sphère, 2^o relativement à ces diverses molécules.

Par rapport à la sphère, ${\rm {V}}$ est une fonction de $a,$ que nous désignerons par ${\rm {A}}$ ; si l’on nomme ensuite $dm$ une des molécules de l’excès du sphéroïde sur la sphère, et $f$ sa distance au point attiré, la valeur de ${\rm {V}}$ relative à cet excès sera $\int f^{n+1}dm\,;$ on aura donc, pour la valeur entière de ${\rm {V}}$ relative au sphéroïde,

${\rm {V=A}}+\int f^{n+1}dm.$

Concevons que le point attiré s’élève de la quantité infiniment petite $dr$ au-dessus de la surface du sphéroïde et de la sphère, sur le prolongement de $r$ ou de $a$ ; la valeur de ${\rm {V}}$ relative à cette nouvelle position du point attiré deviendra ${\rm {V}}+{\frac {\partial V}{\partial r}}dr\,;\ {\rm {A}}$ augmentera d’une quantité proportionnelle à $dr,$ et que nous représenterons par $A'dr.$ De plus, si l’on nomme $\gamma$ l’angle formé par les deux rayons menés du centre de la sphère au point attiré et à la molécule $dm,$ la distance $f$ de cette molécule au point attiré sera, dans la première position de ce point, égale à ${\sqrt {2a^{2}(1-\cos \gamma )}}\,;$ dans la seconde position, elle sera

${\sqrt {(a+dr)^{2}-2a(a+dr)\cos \gamma +a^{2}}},$

ou $f\left(1+{\frac {r}{2a}}\right)\,;$ l’intégrale $\int f^{n+1}dm$ deviendra ainsi

$\left(1+{\frac {n+1}{2}}{\frac {dr}{a}}\right)\int f^{n+1}dm\,;$

on aura donc

${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}dr={\rm {A}}'dr+{\frac {n+1}{2}}{\frac {dr}{a}}\int f^{n+1}dm\,;$

en substituant, au lieu de $\int f^{n+1}dm,$ sa valeur ${\rm {V-A,}}$ on aura

(1)

${\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}={\rm {A}}'-{\frac {n+1}{2a}}{\rm {A}}+{\frac {n+1}{2a}}{\rm {V}}.$