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du sphéroïde, $\alpha$ étant un très-petit coefficient constant, dont nous négligerons le carré et les puissances supérieures, et $y$ étant une fonction de $\mu$ et de $\varpi ,$ dépendante de la nature du sphéroïde. On aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,\ {\rm {V}}={\frac {4\pi a^{3}}{3r}},$ d’où il suit que, dans l’expression précédente de ${\rm {V}}$ : 1^o la quantité ${\rm {U^{(0)}}}$ est égale à ${\frac {4\pi a^{3}}{3}},$ plus à une très-petite quantité de l’ordre $\alpha$ et que nous désignerons par ${\rm {U'^{(0)}\,;}}$ 2^o les quantités ${\rm {U^{(1)},{\rm {U^{(2)},\ldots }}}}$ sont très-petites de l’ordre $\alpha .$ En substituant $a(1+\alpha y)$ au lieu de $r$ dans les expressions précédentes de ${\rm {V}}$ et de $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}},$ et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aura, relativement à un point attiré placé à la surface,

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\rm {V}}&={\frac {2}{3}}\pi a^{2}(1-\alpha y)+{\frac {{\rm {U}}'^{(0)}}{2a}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{2a^{2}}}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{2a^{3}}}+\ldots ,\\\\-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}&={\frac {4}{3}}\pi a^{2}(1-2\alpha y)+{\frac {{\rm {U}}'^{(0)}}{a}}+{\frac {2{\rm {U}}^{(1)}}{a^{2}}}+{\frac {3{\rm {U}}^{(2)}}{a^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (2) du numéro précédent, on aura

$4\alpha \pi a^{2}y={\frac {{\rm {U}}'^{(0)}}{a}}+{\frac {3{\rm {U}}^{(1)}}{a^{2}}}+{\frac {5{\rm {U}}^{(2)}}{a^{3}}}+{\frac {7{\rm {U}}^{(3)}}{a^{4}}}+\ldots$

Il suit de là que la fonction $y$ est de cette forme

$y={\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+\ldots ,}}$

les quantités ${\rm {Y^{(0)},Y^{(1)},Y^{(2)},\ldots }}$ étant, ainsi que ${\rm {U^{(0)},U^{(1)},U^{(2)},\ldots ,}}$ assujetties à cette équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {{\rm {Y}}^{(i)}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{{\rm {Y}}^{(i)}}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){{\rm {Y}}^{(i)}}.$

cette expression de $y$ n’est donc point arbitraire, mais elle dérive du développement en série des attractions des sphéroïdes. On verra dans le numéro suivant que $y$ ne peut se développer ainsi que d’une seule