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Dans le cas de la nature, l’équation (1) devient

$-a{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}=-a{\rm {A'-{\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}V.}}$

La valeur de ${\rm {V}}$ relative à la sphère du rayon $a$ est, par le n^o 6, égale à ${\frac {4\pi a^{3}}{3r}},$ ce qui donne ${\rm {A}}={\frac {4\pi a^{3}}{3}},\ {\rm {A}}'=-{\frac {4\pi a}{3}}\,;$ on aura donc

(2)

$-a{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}={\frac {2\pi a^{2}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\rm {V}}.$

On doit observer ici que cette équation a lieu, quelle que soit la position de la droite $r,$ et dans le cas même où elle ne serait pas perpendiculaire à la surface du sphéroïde, pourvu qu’elle passe fort près de son centre de gravité ; car il est facile de voir que l’attraction du sphéroïde, décomposée suivant ces droites, et qui, comme on l’a vu, est égale à $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}},$ est, quelle que soit leur position, toujours la même, aux quantités près de l’ordre du carré de l’excentricité du sphéroïde.

11. Reprenons maintenant l’expression générale de ${\rm {V}}$ du n^o 9, relative à un point attiré extérieur au sphéroïde,

${\rm {V}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots$

la fonction ${\rm {U}}^{(i)}$ étant, quel que soit $i,$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.$

On aura, en différenciant la valeur de ${\rm {V}}$, par rapport à $r.$

$-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r^{2}}}+{\frac {2{\rm {U}}^{(1)}}{r^{3}}}+{\frac {3{\rm {U}}^{(2)}}{r^{4}}}+\ldots$

Représentons par $a(1+\alpha y)$ le rayon mené de l’origine de $r$ à la surface