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$i$ étant égal ou plus grand que l’unité ; car l’unité qui multiplies $d\mu d\varpi$ est comprise dans la forme ${\rm {Z}}^{(0)},$ qui convient à toute quantité constante ou indépendante de $\mu$ et de $\varpi .$ L’intégrale $\iint yd\mu d\varpi$ se réduit donc à $\iint {\rm {Y}}^{(0)}d\mu d\varpi ,$ et par conséquent à $4\pi {\rm {Y}}^{(0)}\,;$ on a donc

${\rm {M}}={\frac {4}{3}}\pi a^{3}+4\alpha \pi a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}\,;$

ainsi, en prenant pour $a$ le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde, on aura ${\rm {Y}}^{(0)}=0,$ et le terme ${\rm {Y}}^{(0)}$ disparaîtra de l’expression de $y.$

La distance de la molécule $d{\rm {M}}$ ou ${\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}$ au plan du méridien d’où l’on compte l’angle $\varpi$ est égale à ${\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\,;$ la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera donc $\iiint {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$ la masse ${\rm {M}}$ étant prise pour unité, et, en intégrant par rapport à ${\rm {R}}$, elle sera ${\frac {1}{4}}\iint {\rm {R}}'^{4}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\ {\rm {R}}'$ étant le rayon ${\rm {R}}$ prolongé jusqu’à la surface du sphéroïde. Pareillement, la distance de la molécule $d{\rm {M}}$ au plan du méridien perpendiculaire au précédent étant ${\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera ${\frac {1}{4}}\iint {\rm {R}}'^{4}d\mu d\varpi \times$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .$ Enfin, la distance de la molécule $d{\rm {M}}$ au plan de l’équateur étant ${\rm {R}}\mu ,$ la distance du centre de gravité du sphéroïde à ce plan sera ${\frac {1}{4}}\iint {\rm {R}}'^{4}d\mu d\varpi .$ Les fonctions $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ sont de la forme ${\rm {Z}}^{(1)},\ {\rm {Z}}^{(1)}$ étant assujetti à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {Z}}^{(1)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {Z}}^{(1)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+2{\rm {Z}}^{(1)}.$

Si l’on conçoit ${\rm {R}}'^{4}$ développé dans la suite ${\rm {N}}^{(0)}+{\rm {N}}^{(1)}+{\rm {N}}^{(2)}+\ldots ,\ {\rm {N}}^{(i)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ assujettie à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial {\rm {N}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}{\rm {N}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {N}}^{(i)},$

les distances du centre de gravité du sphéroïde aux trois plans pré-