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cédents seront, en vertu du théorème général que nous venons de démontrer,

${\begin{aligned}&{\frac {1}{4}}\iint {\rm {N}}^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&{\frac {1}{4}}\iint {\rm {N}}^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&{\frac {1}{4}}\iint {\rm {N}}^{(1)}\mu d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

${\rm {N}}^{(1)}$ est, par le n^o 9, de la forme ${\rm {A}}\mu +{\rm {B}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {C}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ ${\rm {A,\,B,\,C}}$ étant des constantes ; les distances précédentes deviendront ainsi ${\frac {\pi }{3}}{\rm {B}},\,{\frac {\pi }{3}}{\rm {C}},\,{\frac {\pi }{3}}{\rm {A}}.$ La position du centre de gravité du sphéroïde ne dépend ainsi que de la fonction ${\rm {N}}^{(1)},$ ce qui donne un moyen très-simple pour la déterminer. Si l’origine du rayon ${\rm {R}}'$ est à ce centre, cette origine étant sur les trois plans précédents, les distances du centre de gravité à ces plans seront nulles, ce qui donne ${\rm {A=0,\ B=0,\ C=0,}}$ partant ${\rm {N}}^{(1)}=0.$

Ces résultats ont lieu, quel que soit le sphéroïde ; lorsqu’il est très-peu différent d’une sphère, on a ${\rm {R}}'=a(1+\alpha y),$ et ${\rm {R}}'^{4}=a^{4}(1+4\alpha y)\,;$ ainsi, $y$ étant égal à ${\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots ,$ on a ${\rm {N}}^{(1)}=4\alpha a^{4}{\rm {Y}}^{(1)}\,;$ la fonction ${\rm {Y}}^{(1)}$ disparaît donc de l’expression de $y,$ lorsque l’on fixe l’origine de ${\rm {R}}'$ au centre de gravité du sphéroïde.

13. Concevons maintenant le point attiré, dans l’intérieur du sphéroïde ; nous aurons, par le n^o 9,

${\begin{aligned}{\rm {V}}&=v^{(0)}+rv^{(1)}+r^{2}v^{(2)}+r^{3}v^{(3)}+\ldots ,\\v^{(i)}&=\iiint {\frac {d{\rm {R}}d\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}}{{\rm {R}}^{i-1}}}.\end{aligned}}$

Supposons que cette valeur de ${\rm {V}}$ soit relative à une couche dont la surface intérieure soit sphérique et du rayon $a,$ et dont le rayon de la surface extérieure soit $a(1+\alpha y)$ ; l’épaisseur de cette couche sera $\alpha ay.$ Si l’on désigne par $y'$ ce que devient $y$ lorsque l’on y change $\theta$ et $\varpi$ dans $\theta '$ et $\varpi ',$ on pourra, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ changer $r$ en $a$ et $d{\rm {R}}$ en $\alpha ay',$ dans l’expression intégrale de $v^{(i)}\,;$ on aura ainsi

$v^{(i)}={\frac {\alpha }{a^{i-2}}}\iint y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}.$