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Relativement à un point placé à l’extérieur du sphéroïde, on a, par le n^o 9,

${\rm {V}}={\frac {{\rm {U}}^{(0)}}{r}}+{\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{r^{2}}}+{\frac {{\rm {U}}^{(2)}}{r^{3}}}+\ldots ,$

si l’on suppose cette valeur de ${\rm {V}}$ relative à une couche dont le rayon intérieur est $a$ et dont le rayon extérieur est $a(1+\alpha y),$ on aura

${\rm {U}}^{(i)}=\alpha a^{i+3}\iint y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;$

partant

$v^{(i)}={\frac {{\rm {U}}^{(i)}}{a^{2i+1}}}.$

$\alpha a^{i+3}\iint y'd\varpi 'd\theta '\sin \theta '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;$

On a, par le n^o 11,

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {4\alpha \pi a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}}{2i+1}}\,;$

donc

$v^{(i)}={\frac {4\alpha \pi {\rm {Y}}^{(i)}}{(2i+1)a^{i-2}}},$

ce qui donne

${\rm {V}}=4\alpha \pi a^{2}\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {r}{3a}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5a^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right).$

Il faut ajouter à cette valeur de ${\rm {V}}$ celle qui est relative à la couche sphérique de l’épaisseur $a-r,$ qui enveloppe le point attiré, plus celle qui est relative à la sphère du rayon $r$ et qui est au-dessous du même point. Si l’on fait $\cos \theta '=\mu ',$ on aura, par rapport à la première de ces deux parties de ${\rm {V}}$,

$v^{(i)}=\iiint {\frac {d{\rm {R}}d\varpi 'd\mu '.{\rm {Q}}^{(i)}}{{\rm {R}}^{i-1}}},$

l’intégrale relative à $\mu '$ devant être prise depuis $\mu '=-1$ jusqu’à $\mu '=1.$ En intégrant par rapport à ${\rm {R}}$ depuis ${\rm {R}}=r$ jusqu’à ${\rm {R}}=a,$ on aura

$v^{(i)}={\frac {1}{2-i}}\left({\frac {1}{a^{i-2}}}-{\frac {1}{r^{i-2}}}\right)\iint d\varpi 'd\mu '.{\rm {Q}}^{(i)}\,;$

or on a généralement, par le théorème du numéro précédent, $\iint d\varpi 'd\mu '.{\rm {Q}}^{(i)}=0,$ lorsque $i$ est égal ou plus grand que l’unité ; lorsque