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première quantité pour rayon de sa surface, et dont le plus grand aurait la seconde quantité pour rayon de sa surface ; en nommant donc $\Delta {\rm {V}}$ ce que devient ${\rm {V}}$ relativement à cette couche, on aura

$\Delta {\rm {V=2\pi (a'^{2}-a^{2})+4\alpha \pi \left[{\frac {ra'}{3}}{\rm {Y'}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}\left({\rm {Y'^{(2)}-Y^{(2)}}}\right)+{\frac {r^{3}}{7}}\left({\frac {{\rm {Y'}}^{(3)}}{a'}}-{\frac {{\rm {Y}}^{(3)}}{a}}\right)+\ldots \right].}}$

Si l’on veut que le point placé dans l’intérieur de la couche soit également attiré de toutes parts, il faut que $\Delta {\rm {V}}$ se réduise à une constante indépendante de $r,\theta$ et $\varpi$ ; car on a vu que les différences partielles de $\Delta {\rm {V}}$, prises par rapport à ces variables, expriment les attractions partielles de la couche sur le point attiré ; on a donc alors ${\rm {Y'}}^{(1)}=0,$ et généralement

${\rm {Y'}}^{(i)}=\left({\frac {a'}{a}}\right)^{i-2}{\rm {Y}}^{(i)},$

en sorte que, le rayon de la surface intérieure étant donné, on aura celui de la surface extérieure.

Lorsque la surface intérieure est elliptique, on à ${\rm {Y}}^{(3)}=0,\ {\rm {Y}}^{(4)}=0,\ldots ,$ et par conséquent ${\rm {Y'}}^{(3)}=0,\ {\rm {Y'}}^{(4)}=0,\ldots \,;$ les rayons des deux surfaces intérieure et extérieure sont donc

$a(1+\alpha {\rm {Y}}^{(2)},\qquad a'(1+\alpha {\rm {Y}}^{(2)}\,;$

ainsi l’on voit que ces deux surfaces sont semblables et semblablement situées, ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le n^o  3.

14. Les formules (3) et (4) des n^os 11 et 13 embrassent toute la théorie des attractions des sphéroïdes homogènes très-peu différents de la sphère ; il est facile d’en conclure celle des sphéroïdes hétérogènes, quelle que soit la loi de la variation de la figure et de la densité de leurs couches. Pour cela, soit $a(1+\alpha y)$ le rayon d’une des couches d’un sphéroïde hétérogène, et supposons que $y$ soit sous cette forme ${\rm {Y^{(0)}+Y'^{(1)}+Y^{(2)}+Y^{(3)}+\ldots ,}}$ les coefficients qui entrent dans les quantités ${\rm {Y^{(0)},Y'^{(1)},Y^{(2)},\ldots ,}}$ étant des fonctions de $a,$ et par conséquent variables d’une couche à l’autre. Si l’on différentie par rapport