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à a la valeur de ${\rm {V}}$ donnée par la formule (3) du n^o 11, et que l’on nomme $\rho$ la densité de la couche dont le rayon est $a(1+\alpha y),\ \rho$ étant une fonction de $a$ seul, la valeur de ${\rm {V}}$ correspondante à cette couche sera, pour un point attiré extérieur,

${\frac {4\pi }{3r}}\rho d.a^{3}+{\frac {4\alpha \pi \rho }{r}}d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\,;$

cette valeur sera donc, relativement au sphéroïde entier,

${\rm {V}}={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}$

$+{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right),$

les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à la valeur de $a$ qui a lieu à la surface du sphéroïde, et que nous désignerons par ${\rm {a}}.$

Pour avoir la partie de ${\rm {V}}$ relative à un point attiré intérieur au sphéroïde, on déterminera d’abord la partie de cette valeur relative à toutes les couches auxquelles ce point est extérieur. Cette première partie est donnée par la formule (5), en prenant l’intégrale depuis $a=0$ jusqu’à $a=a,\ a$ étant relatif à la couche sur laquelle se trouve le point attiré. On déterminera la seconde partie de ${\rm {V}}$, relative à toutes les couches dans l’intérieur desquelles ce point se trouve, en différenciant la formule (4) du numéro précédent par rapport à $a,$ en multipliant ensuite cette différentielle par $\rho$, et en prenant l’intégrale depuis $a=a$ jusqu’à $a={\rm {a}}$ ; la somme de ces deux parties de ${\rm {V}}$ sera sa valeur entière relative à un point intérieur, et l’on aura pour cette somme

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\rm {V}}&={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}\\&\quad +{\frac {4\alpha \pi }{r}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)\\\\&+2\pi \int \rho d.a^{3}\\&\quad +4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {ar}{3}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {r^{2}}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {r^{3}}{7a}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

les deux premières intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a,$ et les deux dernières étant prises depuis $a=a$ jusqu’à $a={\rm {a}}$ ; il faut de plus, après les intégrations, substituer $a$ au lieu de $r$ dans les termes

multipliés par $\alpha$, et ${\frac {1-\alpha y}{a}}$ au lieu de ${\frac {1}{r}}$ dans le terme ${\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}.$