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ainsi la partie de l’intégrale $\iint {\rm {Y}}^{(i)}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}$ dépendante de l’angle $n\varpi$ sera

${\begin{aligned}&\gamma \lambda \sin n\varpi .\iint \lambda '^{2}d\mu 'd\varpi '\sin n\varpi '\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi '+{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi '\right)\\\\+&\gamma \lambda \cos n\varpi .\iint \lambda '^{2}d\mu 'd\varpi '\cos n\varpi '\left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi '+{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi '\right).\end{aligned}}$

En exécutant les intégrations relatives à $\varpi ',$ cette partie devient

$\gamma \lambda \pi \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\int \lambda '^{2}d\mu '\,;$

mais, en vertu de l’équation (1), cette même partie est égale à

${\frac {4\pi }{2i+1}}\lambda \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\,;$

on a donc

$\int \lambda '^{2}d\mu '={\frac {4}{(2i+1)\gamma }}.$

Représentons maintenant par $\lambda \left({\rm {A'}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B'}}^{(n)}\cos n\varpi \right)$ la partie de ${\rm {Z}}^{(i)}$ dépendante de l’angle $n\varpi .$ Cette partie doit seule être combinée avec la partie correspondante de ${\rm {Y}}^{(i)},$ parce que les termes dépendants des sinus et cosinus de l’angle $\varpi$ et de ses multiples disparaissent par l’intégration dans la fonction $\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi ,$ intégrée depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi$ ; on aura ainsi, en n’ayant égard qu’à la partie de ${\rm {Y}}^{(i)}$ dépendante de l’angle $n\varpi ,$

${\begin{aligned}\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi &=\iint \lambda ^{2}d\mu d\varpi \left({\rm {A}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left({\rm {A'}}^{(n)}\sin n\varpi +{\rm {B'}}^{(n)}\cos n\varpi \right)\\\\&=\pi \left({\rm {A}}^{(n)}{\rm {A'}}^{(n)}+{\rm {B}}^{(n)}{\rm {B'}}^{(n)}\right)\int \lambda ^{2}d\mu \\&={\frac {4\pi }{(2i+1)\gamma }}\left({\rm {A}}^{(n)}{\rm {A'}}^{(n)}+{\rm {B}}^{(n)}{\rm {B'}}^{(n)}\right).\end{aligned}}$

En supposant donc successivement, dans le dernier membre, $n=0,\ n=1,$$\ n=2,\ldots ,n=i,$ la somme de tous ces termes sera la valeur de l’intégrale $\iint {\rm {Y}}^{(i)}{\rm {Z}}^{(i)}d\mu d\varpi .$

Si le sphéroïde est de révolution, en sorte que l’axe avec lequel le rayon ${\rm {R}}$ forme l’angle $\theta$ soit l’axe même de révolution, l’angle $\varpi$ disparaîtra de l’expression de ${\rm {Z}}^{(i)},$ qui devient alors de cette forme

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}{\rm {A}}^{(i)}\times$

$\left(\mu ^{(i)}-{\frac {i(i-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{(i-2)}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-2)}{2.4.(2i-1)(2i-3)}}\mu ^{(i-4)}-\ldots \right),$