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sion de ${\rm {V}}$ devient encore, par les méthodes connues, intégrale par rapport à $q,$ en y faisant $\operatorname {tang} q=t.$ Dans ces deux cas, l’intégrale étant prise par rapport à une de ces variables dans ses limites, elle devient ensuite possible par rapport à l’autre, et l’on trouve que, ${\rm {M}}$ étant la masse du sphéroïde, la valeur de ${\rm {\frac {V}{M}}}$ est indépendante du demi-axe $k$ du sphéroïde, perpendiculaire à l’équateur, et ne dépend que des excentricités de l’ellipsoïde. En multipliant donc les différents termes des valeurs de ${\rm {\frac {V}{M}}}$ relatives à ces deux cas, et réduites en séries ordonnées suivant les puissances de ${\frac {1}{r}},$ par les facteurs dont nous venons de parler, pour avoir la valeur de ${\rm {\frac {V}{M}}}$ relative à un point quelconque attiré, la fonction qui en résultera sera indépendante de $k$ et ne dépendra que des excentricités, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème que nous avons démontré dans le n^o 6.

Si le point attiré est placé dans l’intérieur du sphéroïde, l’attraction qu’il éprouve dépend, comme on l’a vu dans le n^o 9, de la fonction $v^{(i)}$, et l’on a, par le numéro cité.

$v^{(i)}=\iiint {\frac {\rho d{\rm {R}}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}}{{\rm {R}}^{i-1}}},$

équation que l’on peut mettre sous cette forme

$v^{(i)}={\frac {1}{2-i}}\iiint \rho {\frac {\partial .{\rm {R}}^{2-i}}{\partial a}}dad\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)}.$

Supposons ${\rm {R}}^{2-i}$ développé dans une suite de la forme

$z'^{(0)}+z'^{(1)}+z'^{(2)}+\ldots ,$

$z'^{(i)}$ satisfaisant à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu '^{2}\right){\frac {\partial z'^{(i)}}{\partial \mu '}}}{\partial \mu '}}+{\frac {\frac {\partial ^{2}z'^{(i)}}{\partial \varpi '^{2}}}{1-\mu '^{2}}}+i(i+1)z'^{(i)}.$