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l’autre partie de cette manière. Supposons, pour simplifier, le sphéroïde tel, qu’il soit partagé en deux parties égales et semblables soit par l’équateur, soit par le méridien où l’on fixe l’origine de l’angle $\varpi ,$ soit par le méridien qui lui est perpendiculaire. Alors ${\rm {V}}$ sera fonction de $\mu ^{2},\sin ^{2}\varpi$ et $\cos ^{2}\varpi ,$ ou, ce qui revient au même, il sera fonction de $\mu ^{2}$ et des cosinus de l’angle $2\varpi$ et de ses multiples ; ${\rm {U}}^{(i)}$ sera donc nul lorsque $i$ est impair, et, dans le cas où il est pair, le terme dépendant de l’angle $2n\varpi$ sera de la forme

${\rm {C}}^{(i)}\left(1-\mu ^{2}\right)^{n}\left(\mu ^{i-2n}-{\frac {(i-2n)(i-2n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-2n-2}+\ldots \right)\cos 2n\varpi .$

Relativement à un point attiré, situé dans le plan de l’équateur où $\mu =0,$ la partie de ${\rm {V}}$ dépendante de ce terme devient

$\pm {\frac {{\rm {C}}^{(i)}}{r^{i+1}}}{\frac {1.3.5\ldots (i-2n-1)}{(i+2n+1)(i+2n+3)\ldots (2i-1)}}\cos 2n\varpi ,$

d’où il suit qu’ayant développé ${\rm {V}}$ dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de l’angle $2\varpi$ et de ses multiples, lorsque le point attiré est situé dans le plan de l’équateur, il suffira, pour étendre cette valeur à un point quelconque attiré, de multiplier les termes dépendants de ${\frac {\cos 2n\varpi }{r^{i+1}}}$ par la fonction

$\pm {\frac {(i+2n+1)\ldots (2i-1)}{1.3.5\ldots (i-2n-1)}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{n}\times$

$\left(\mu ^{i-2n}-{\frac {(i-2n)(i-2n-1)}{2.(2i-1)}}\mu ^{i-2n-2}+\ldots \right)\,;$

on aura donc ainsi la valeur entière de ${\rm {V}}$, lorsque cette valeur sera déterminée en série pour les deux cas où le point attiré est situé sur le prolongement de l’axe du pôle et où il est situé dans le plan de l’équateur, ce qui simplifie beaucoup la recherche de cette valeur.

Le sphéroïde que nous venons de considérer comprend l’ellipsoïde. Relativement à un point attiré situé sur l’axe du pôle, que nous supposerons être l’axe des $x,$ on a, par le n^o 2, $b=0,\ c=0,$ et alors l’expression de ${\rm {V}}$ du n^o 5 est intégrale par rapport à $p.$ Relativement à un point situé dans le plan de l’équateur, on a $a=0,$ et la même expres-