Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/74

Supposons que l’axe des $a$ soit l’axe même de révolution ; l’équation à la surface de l’ellipsoïde sera de cette forme,

$a^{2}+m\left(b^{2}+c^{2}\right)=k^{2},$

l’origine des coordonnées $a,b,c$ étant au centre de l’ellipsoïde, $k$ sera le demi-axe de révolution, et, si l’on nomme ${\rm {M}}$ la masse de l’ellipsoïde, on aura, par le n^o 2,

${\rm {M}}={\frac {4\pi \rho k^{3}}{3m}},$

$\rho$ étant la densité du fluide. Si l’on fait, comme dans le n^o 3, ${\frac {1-m}{m}}\lambda ^{2},$ on aura $m={\frac {1}{1+\lambda ^{2}}}$ et par conséquent

${\rm {M}}={\frac {4\pi \rho }{3}}k^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right),$

équation qui donnera le demi-axe $k,$ lorsque $\lambda$ sera déterminé. Soit

${\begin{aligned}{\rm {A}}'&={\frac {4\pi \rho \left(1+\lambda ^{2}\right)}{\lambda ^{3}}}(\lambda -\operatorname {arctang} \lambda ),\\\\{\rm {B}}'&={\frac {4\pi \rho }{2\lambda ^{3}}}\left[\left(1+\lambda ^{2}\right)\operatorname {arctang} \lambda -\lambda )\right]\end{aligned}}$

on aura, par le n^o 3, en n’ayant égard qu’à l’attraction de la masse fluide,

${\rm {P=A'}}a,\qquad {\rm {Q}}={\rm {B}}'b,\qquad {\rm {R=B'}}c.$

Si l’on nomme $g$ la force centrifuge à la distance $1$ de l’axe de rotation, cette force, à la distance ${\sqrt {b^{2}+c^{2}}}$ du même axe, sera $g{\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,;$ en la décomposant parallèlement aux coordonnées $b$ et $c,$ il en résultera dans ${\rm {Q}}$ le terme $-gb,$ et dans ${\rm {R}}$ le terme $-gc$ ; on aura ainsi, en ayant égard à toutes les forces qui animent les molécules de la surface,

${\rm {P=A'}}a,\qquad {\rm {Q}}=({\rm {B}}'-g)b,\qquad {\rm {R}}=({\rm {B}}'-g)c\,;$

l’équation précédente de l’équilibre deviendra donc

$0=ada+{\frac {{\rm {B}}'-g}{{\rm {A}}'}}(bdb+cdc).$