Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/75

L’équation différentielle de la surface de l’ellipsoïde est, en y substituant pour $m$ sa valeur ${\frac {1}{1+\lambda ^{2}}},$

$0=ada+{\frac {bdb+cdc}{1+\lambda ^{2}}}\,;$

en la comparant à la précédente, on aura

(1)

$\left(1+\lambda ^{2}\right)({\rm {B}}'-g)={\rm {A'\,;}}$

si l’on substitue pour ${\rm {A'}}$ et ${\rm {B'}}$ leurs valeurs, et si l’on fait ${\frac {g}{{\frac {4}{3}}\pi \rho }},$ on aura

(2)

$0={\frac {9\lambda +2q\lambda ^{3}}{9+3\lambda ^{2}}}-\operatorname {arctang} \lambda \,;$

en déterminant donc par cette équation, qui est indépendante des coordonnées $a,b,c,$ on fera coïncider l’équation de l’équilibre avec celle de la surface de l’ellipsoïde ; d’où il suit que la surface elliptique satisfait à l’équilibre, du moins lorsque le mouvement de rotation est tel que la valeur de $\lambda ^{2}$ n’est pas imaginaire, ou lorsque, étant négative, elle n’est pas égale ou plus grande que l’unité. Le cas de $\lambda ^{2}$ imaginaire donnerait un solide imaginaire ; celui de $\lambda ^{2}=-1$ donnerait un paraboloïde, et celui de $\lambda ^{2}$ négatif et plus grand que l’unité donnerait un hyperboloïde.

19. Si l’on nomme $p$ la pesanteur à la surface de l’ellipsoïde, on aura

$p={\sqrt {\rm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}}}}.$

Dans l’intérieur de l’ellipsoïde, les forces ${\rm {P,Q,R}}$ sont proportionnelles aux coordonnées $a,b,c$ ; car on a vu, dans le n^o 3, que les attractions de l’ellipsoïde, parallèlement à ces coordonnées, leur sont respectivement proportionnelles, ce qui a également lieu pour la force centrifuge décomposée parallèlement aux mêmes coordonnées. Il suit de là que les pesanteurs aux divers points d’un rayon mené du centre de l’ellipsoïde à sa surface ont des directions parallèles, et sont proportionnelles