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La courbe, du côté des abscisses négatives, étant exactement la même que du côté des abscisses positives, à la différence près du signe des ordonnées, elle coupe son axe de chaque côté, dans des points correspondants, équidistants de l’origine des coordonnées ; les valeurs négatives de $\lambda$ qui satisfont à l’équilibre sont donc, au signe près, les mêmes que les valeurs positives, ce qui donne les mêmes figures elliptiques, puisque le carré de $\lambda$ entre seul dans la détermination de ces figures ; il est par conséquent inutile de considérer la courbe du côté des abscisses négatives.

Si l’on suppose $q$ fort petit, comme cela a lieu pour la Terre, on pourra satisfaire à l’équation (2) du n^o 18 dans les deux hypothèses de $\lambda ^{2}$ fort petit et de $\lambda ^{2}$ fort grand. Dans la première on a, par le numéro précédent,

$\lambda ^{2}={\frac {5}{2}}q+{\frac {75}{14}}q^{2}+\ldots .$

Pour avoir la valeur de $\lambda ^{2}$ dans la seconde hypothèse, nous observerons qu’alors $\operatorname {arctang} \lambda$ diffère très-peu de ${\frac {1}{2}}\pi ,$ en sorte que, si l’on suppose $\operatorname {arctang} \lambda ={\frac {\pi }{2}}-\alpha ,\ \alpha$ sera un très-petit angle dont la tangente est ${\frac {1}{\lambda }}$ ; on aura donc

$\alpha ={\frac {1}{\lambda }}-{\frac {1}{3\lambda ^{3}}}+{\frac {1}{5\lambda ^{5}}}-\ldots ,$

et par conséquent

$\operatorname {arctang} \lambda ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{3\lambda ^{3}}}-{\frac {1}{5\lambda ^{5}}}+\ldots \,;$

l’équation (2) du n^o 18 deviendra ainsi

${\frac {9\lambda +2q\lambda ^{3}}{9+3\lambda ^{2}}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{3\lambda ^{3}}}-\ldots ,$

d’où l’on conclut, par le retour des suites,

$\lambda ={\frac {3\pi }{4q}}-{\frac {8}{\pi }}+{\frac {4q}{\pi }}\left({\frac {64}{3\pi ^{2}}}\right)+\ldots$

$=2{,}356195.{\frac {1}{q}}-2{,}546479-1{,}478885.q+\ldots$

On a vu, dans le numéro précédent, que, relativement à la Terre,