Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/85

rotation, à la distance $1$ de l’axe ; ${\sqrt {g}}$ sera la vitesse angulaire de rotation ; nommons ensuite $k$ le demi-axe de rotation de la masse fluide, et $k{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}$ le demi-axe de son équateur. Il est facile de s’assurer que la somme des aires décrites pendant l’instant $dt$ par toutes les molécules, projetées sur le plan de l’équateur et multipliées respectivement par les molécules correspondantes, est ${\frac {4\pi \rho }{15}}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{2}k^{5}dt.{\sqrt {g}}\,;$ on aura donc

${\frac {4\pi \rho }{15}}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{2}k^{5}{\sqrt {g}}={\rm {E}}.$

En nommant ensuite ${\rm {M}}$ la masse fluide, on aura

${\frac {4}{3}}\pi k^{3}\rho \left(1+\lambda ^{2}\right)={\rm {M}}\,;$

la quantité ${\frac {g}{{\frac {4}{3}}\pi \rho }}$ que nous avons nommée $q$ dans le n^o 18, devient ainsi $q'\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}},$ en désignant par $q'$ la fonction ${\frac {25{\rm {E}}^{2}\left({\frac {4}{3}}\pi \rho \right)^{\frac {1}{3}}}{\rm {M^{\frac {10}{3}}}}}.$ L’équation du même numéro devient

$0={\frac {9\lambda +2q'\lambda ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}}{9+3\lambda ^{2}}}-\operatorname {arctang} \lambda .$

Cette équation déterminera $\lambda$ ; on aura ensuite $k$ au moyen de l’expression précédente de ${\rm {M.}}$

Nommons $\varphi$ la fonction

${\frac {9\lambda +2q'\lambda ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {2}{3}}}}{9+3\lambda ^{2}}}-\operatorname {arctang} \lambda ,$

qui doit être égale à zéro, par la condition de l’équilibre ; cette fonction commence par être positive lorsque $\lambda$ est très-petit, et finit par être négative lorsque $\lambda$ est infini ; il existe donc, entre $\lambda =0$ et $\lambda$ infini, une valeur de $\lambda$ qui rend cette fonction nulle, et par conséquent il y a toujours, quel que soit $q'$ une figure elliptique avec laquelle la masse fluide peut être en équilibre.