Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/95

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=a.$ Le rayon $a(1+\alpha y)$ de la surface du sphéroïde deviendra ainsi

(2)$\qquad a(1+\alpha y)=a\left[1+{\frac {3\alpha }{4\pi }}\left({\rm {Z}}^{(2)}+a{\rm {Z}}^{(3)}+a^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right)\right]$

$+{\frac {9\alpha }{8a\pi }}\int dr\left({\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).$

On peut mettre cette équation sous une forme finie, en considérant que l’on a, par le numéro précédent,

$\alpha \left({\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right)=$

$-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {\rm {S}}{sr^{2}}}-{\frac {{\rm {S}}\delta }{s^{2}r}}+{\frac {\rm {S}}{r^{2}{\sqrt {s^{2}-2sr\delta +r^{2}}}}}-{\frac {\rm {S'}}{s'r^{2}}}-\ldots ,$

en sorte que l’intégrale $\int dr\left({\rm {Z}}^{(2)}+r{\rm {Z}}^{(3)}+\ldots \right)$ est facile à déterminer par les méthodes connues.

25. L’équation (1) du n^o 23 a non-seulement l’avantage de faire connaître la figure du sphéroïde, mais encore celui de donner par la différentiation la loi de la pesanteur à sa surface ; car il est visible que, le second membre de cette équation étant l’intégrale de la somme de toutes les forces dont chaque molécule est animée, multipliées par les éléments de leurs directions respectives, on aura la partie de la résultante qui agit suivant le rayon $r$ en différenciant ce second membre par rapport à $r$ ; ainsi, en nommant $p$ la force dont une molécule de la surface est sollicitée vers le centre de gravité du sphéroïde, on aura

$p=-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}-{\frac {\alpha }{\partial r}}\partial \left(r^{2}{\rm {Z}}^{(0)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(2)}+r^{3}{\rm {Z}}^{(3)}+r^{4}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $-{\frac {\partial {\rm {V}}}{\partial r}}$ sa valeur à la surface ${\frac {2}{3}}\pi a+{\frac {\rm {V}}{2a}},$ donnée par l’équation (2) du n^o 10, et au lieu de {\rm V} sa valeur donnée par l’équation (1) du n^o 23, on aura

(3)$\quad p={\frac {4}{3}}\pi a-{\frac {1}{2}}\alpha a\left({\rm {Z}}^{(2)}+a{\rm {Z}}^{(3)}+a^{2}r^{3}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right)$

$-{\frac {\alpha }{\partial r}}\partial \left(r^{2}{\rm {Z}}^{(0)}+r^{2}{\rm {Z}}^{(2)}+r^{3}{\rm {Z}}^{(3)}+r^{4}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right),$