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$r$ devant être changé en $a,$ après les différentiations, dans le second membre de cette équation, qui, par le numéro précédent, peut toujours se réduire à une fonction finie.

$p$ ne représente pas exactement la pesanteur, mais seulement la partie de cette force dirigée vers le centre de gravité du sphéroïde, en la supposant décomposée en deux, dont l’une soit perpendiculaire au rayon $r,$ et dont l’autre $p$ soit dirigée suivant ce rayon. La première de ces deux forces est évidemment très-petite et de l’ordre $\alpha$ ; en la désignant donc par $\alpha \gamma ,$ la pesanteur sera égale à ${\sqrt {p^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}}},$ quantité qui, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$ se réduit à $p.$ Nous pouvons ainsi considérer $p$ comme exprimant la pesanteur à la surface du sphéroïde, en sorte que, les équations (2) et (3) du numéro précédent et de celui-ci déterminant et la figure des sphéroïdes homogènes en équilibre et la loi de la pesanteur à leur surface, elles renferment la théorie complète de l’équilibre de ces sphéroïdes, dans la supposition où ils diffèrent très-peu de la sphère.

Si les corps étrangers ${\rm {S,S',\ldots }}$ sont nuls, et qu’ainsi le sphéroïde ne soit sollicité que par l’attraction de ses molécules et par la force centrifuge de son mouvement de rotation, ce qui est le cas de la Terre et des planètes premières, à l’exception de Saturne, lorsque l’on n’a égard qu’à l’état permanent de leur figure ; alors, en désignant par $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, rapport qui est à très-peu près égal à ${\frac {g}{{\frac {1}{2}}\pi }},$ la densité du sphéroïde étant prise pour l’unité, on trouvera

${\begin{aligned}&a(1+\alpha y)=a\left[1-{\frac {5\alpha \varphi }{4}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\right],\\\\&p={\frac {4}{3}}\pi a\left[1-{\frac {2}{3}}\alpha \varphi +{\frac {5\alpha \varphi }{4}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

le sphéroïde est donc alors un ellipsoïde de révolution, sur lequel les accroissements de la pesanteur et les diminutions des rayons, en allant de l’équateur aux pôles, sont à très-peu près proportionnels au carré du sinus de la latitude, $\mu$ étant, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$ égal à ce sinus.