Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/98

Pour cela, nous observerons que, si l’on nomme $\theta '$ la valeur de $\theta$ relative à ce point de sortie, et $a(1+\alpha y')$ le rayon correspondant du sphéroïde, $y'$ étant une pareille fonction de $\cos \theta '$ ou de $\mu '$ que $y$ l’est de $\mu ,$ il est facile de voir que le cosinus de l’angle formé par les deux droites $f'$ et $a(1+\alpha y)$ est égal à $\sin p\cos q,$ et qu’ainsi, dans le triangle formé par les trois droites $f',a(1+\alpha y),$ et $a(1+\alpha y'),$ on a

$a^{2}(1+\alpha y')^{2}=f'^{2}-2af'(1+\alpha y)\sin p\cos q+a^{2}(1+\alpha y)^{2}.$

Cette équation donne pour $f'^{2}$ deux valeurs ; mais, l’une d’elles étant de l’ordre $\alpha ^{2},$ elle est nulle lorsque l’on néglige les quantités de cet ordre. L’autre devient

$f'^{2}=4a^{2}\sin ^{2}p\cos ^{2}q(1+2\alpha y)+4\alpha a^{2}(y'-y),$

ce qui donne

${\rm {V}}=2a^{2}\iint dpdq\sin p\left[(1+2\alpha y)\sin ^{2}p\cos ^{2}q+\alpha (y'-y)\right].$

Il est visible que les intégrales doivent être prises depuis $p=0$ jusqu’à $p=\pi ,$ et depuis $q=-{\frac {1}{2}}\pi$ jusqu’à $q={\frac {1}{2}}\pi$ on aura ainsi

${\rm {V}}={\frac {4}{3}}\pi a^{2}-{\frac {4}{3}}\alpha \pi a^{2}y+2\alpha a^{2}\iint dpdq.y'\sin p.$

$y'$ étant fonction de $\cos \theta ',$ il faut déterminer ce cosinus en fonction de $p$ et de $q\,;$ ; on pourra, dans cette détermination, négliger les quantités de l’ordre $\alpha ,$ puisque $y'$ est déjà multiplié par $\alpha$ ; cela posé, on trouvera facilement

$a\cos \theta '=(a-f'\sin p\cos q)\cos \theta +f'\sin p\sin q\sin \theta ,$

d’où l’on tire, en substituant pour $f'$ sa valeur $2a\sin p\cos q,$

$\mu '=\mu \cos ^{2}p-\sin ^{2}p\cos(2q+\theta ).$

On doit observer ici, relativement à l’intégrale $\iint y'dpdq\sin p,$ prise par rapport à $q,$ depuis $2q=-\pi$ jusqu’à $2q=\pi ,$ que le résultat serait le même si l’on prenait cette intégrale depuis $2q=-\theta$ jusqu’à $2q=2\pi -\theta ,$ parce que les valeurs de $\mu '$, et par conséquent celles