J’observerai ici que l’analyse par laquelle je viens d’intégrer l’équation (3) s’applique aux équations générales du mouvement des fluides, et que c’est ainsi que j’ai déterminé, dans le Livre IV, les oscillations d’un fluide qui recouvre une sphère immobile et qui est attiré par un astre en mouvement.
Les valeurs de 
sont déterminées par l’état initial de la chaleur de la sphère. Je vais donner, pour cet objet, une méthode simple et qui peut s’étendre à beaucoup d’autres cas.
Je suppose que l’état initial de la chaleur soit exprimé par la fonction
étant une fonction rationnelle et entière de 
et 
assujettie à la même équation aux différences partielles que 
c’est-à-dire telle que l’on ait
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dec2d427c2489ef629eeef717b1fb6a5359a23f)
les coefficients arbitraires de étant ici des fonctions de 
Soient 
un de ces coefficients et 
on aura, par ce qui précède,
En supposant 
nul dans l’expression de 
, il est facile de voir que l’on aura
étant les valeurs de 
correspondantes aux diverses racines de l’équation (4) ; 
sont les arbitraires qui multiplient ces valeurs et qu’il s’agit de déterminer. Pour cela, on multipliera l’équation précédente par 
et l’on prendra l’intégrale depuis 
nul jusqu’à 
ce qui donne
