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à leurs centres et agissant l’une sur l’autre suivant une loi d’attraction exprimée par la fonction (E) divisée par le produit des masses ou par

${\frac {16}{9}}\pi ^{2}\rho \rho '\mathrm {R^{3}R'^{3}} .$

Dans les sept intégrations qui déterminent $\psi _{v}(r),$ on ne doit point s’inquiéter de l’origine de chaque intégrale. Cette origine peut être différente à chaque intégration, sans qu’il en résulte aucun changement dans la formule (E). En effet, un changement arbitraire d’origine à chaque intégration introduit dans la fonction $\psi _{v}(r),$ dérivée de $\varphi (r),$ la fonction

$\mathrm {A} r^{7}+\mathrm {A} ^{(1)}r^{5}+\mathrm {A} ^{(2)}r^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}r^{3}+\mathrm {A} ^{(4)}r^{2}+\mathrm {A} ^{(5)}r+\mathrm {A} ^{(6)},$

$\mathrm {A,A^{(1)}} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, et il est facile de voir que cette fonction, substituée pour $\psi _{v}(r)$ dans la formule (E), la rend identiquement nulle.

Si l’on suppose $\varphi (r)={\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}},$ on aura

$\psi _{v}(r)=-{\frac {\mathrm {H} r^{6}}{1.2.3.4.5.6}},$

et la formule (E) devient

${\frac {16}{9}}\pi ^{2}\rho \rho '\mathrm {R^{3}R'^{3}} {\frac {\mathrm {H} }{r^{2}}},$

c’est-à-dire que les deux sphères s’attirent comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres, ce qui est conforme à ce que Newton a démontré.

3. Les formules précédentes s’appliquent évidemment à la répulsion des fluides élastiques contenus dans des enveloppes sphériques, pourvu que la densité du fluide soit partout la même.

Si l’on nomme $p$ la pression du fluide, et si l’on désigne par $\varphi$ la force révulsive d’une sphère fluide dont $\mathrm {R}$ est le rayon et $\rho$ la densité sur un point placé à la distance $r$ de son centre et qui éprouve la pression $p,$ on aura, par le n^o 17 du Livre I,

$dp=\rho \varphi dr,$